正弦定理公式及推導(dǎo)的三種方法

發(fā)布時間：2025-10-29 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

弦定理是三角形中常見的一種關(guān)系式，它描述了三角形中各邊長度和角度之間的關(guān)系。下面介紹正弦定理的公式及推導(dǎo)方法。

公式：

在一個三角形ABC中，設(shè)a、b、c分別為三角形中各邊的長度，而A、B、C分別為三角形中各角的度數(shù)，則有正弦定理公式：

$dfrac{a}{sinA}=dfrac{sinB}=dfrac{c}{sinC}$推導(dǎo)方法：

方法一：

我們可以從三角形的周長入手，由于三角形的周長等于三邊長度之和，所以有：

a+b+c=周長又根據(jù)三角形中各角的度數(shù)之和為180°，可得：

A+B+C=180°將正弦函數(shù)的定義式應(yīng)用于該三角形的三個角，得：

sinA = $dfrac{a}{c}$sinB = $dfrac{c}$sinC = $dfrac{a}{c}$將以上三個等式代入正弦定理公式中，即可得到正弦定理公式。

方法二：

我們可以利用三角形的面積和正弦函數(shù)的性質(zhì)來推導(dǎo)正弦定理公式。設(shè)三角形ABC的面積為S，則有：

S = $dfrac{1}{2}acsinB$S = $dfrac{1}{2}bcsinA$S = $dfrac{1}{2}ab sinC$將以上三個等式相加，并消去S，整理得：

$dfrac{a}{sinA}=dfrac{sinB}=dfrac{c}{sinC}$即得到正弦定理公式。

方法三：

我們可以利用向量的概念來推導(dǎo)正弦定理公式。設(shè)三角形ABC的三個點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，則三個向量分別為：

$overrightarrow{AB}$ = (x2 -1, y2 - y1)

$overrightarrow{BC}$ = (x3 - x2, y3 - y2)

$overrightarrow{CA}$ = (x1 - x3, y1 - y3)

由向量的叉乘公式可得：

$overrightarrow{AB}$ × $overrightarrow{BC}$ = AC × sinB$overrightarrow{BC}$ × $overrightarrow{CA}$ = AB × sinC$overrightarrow{CA}$ × $