留數求法

發(fā)布時間：2025-11-05 | 來源：互聯網轉載和整理

留數的求法

除了通過洛朗級數的定義求留數，還可以利用以下方法：

設有函數的m階極點z_0，則極點附近有洛朗級數

%20f(z%20)%3D%5Csum_%7Bk%3D-m%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20

即(z-z_0)%5Em%20f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D-m%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5E%7Bk%2Bm%7D%20%5C%5C%0A%3Da_%7B-m%7D%2Ba_%7B-m%2B1%7D(z-z_0)%2B...%2Ba_%7B-1%7D(z-z_0)%5E%7Bm-1%7D%2B...

令

g(z)%3D%5Cleft%5C%7B%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A(z-z_0)%5Em%20f(z)%2C%5C%3Bz%5Cneq%20z_0%5C%5C%0Aa_%7B-m%7D%2C%5C%3Bz%3Dz_0%0A%5Cend%7Barray%7D%20%20%5Cright.

則上式右邊是g(z)的泰勒級數，顯然有

a_%7B-1%7D%3D%5Cfrac1%7B(m-1)!%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%5E%7Bm-1%7D%7D%7B%5Cmathrm%20dz%5E%7Bm-1%7D%7D%5Bf(z)(z-z_0)%5Em%5D

所以如果可以找到m使%5Clim_%7Bz%5Crightarrow%20z_0%7D(z-z_0)%5Emf(z)%3DC%5Cneq0，則可以確定z_0是m階極點，并可以根據上式求得留數。特別地對于單極點，

a_%7B-1%7D%3D%5Clim_%7Bz%5Crightarrow%20z_0%7D(z-z_0)f(z)