初中數(shù)學(xué)二次根式知識(shí)點(diǎn)及運(yùn)算方法歸納

發(fā)布時(shí)間：2025-08-23 | 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

什么是二次根式

一般地，我們把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式，其中“√”稱為二次根號(hào)，“a”叫作被開(kāi)方數(shù)。

注：在二次根式中，被開(kāi)放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以a≥0是√a為二次根式的前提條件，如√5，√(x2+1)，√(x－1)(x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。

二次根式的乘除法運(yùn)算

1.乘法規(guī)定：（a≥0，b≥0）二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。

推廣：(1)（a≥0，b≥0，c≥0）(2)（b≥0，d≥0）

2.乘法逆用：（a≥0，b≥0）積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。

注意：公式中的a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a≥0，b≥0;

3.除法規(guī)定：（a≥0，b>0）二次根式相處，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變。

推廣：其中a≥0，b>0。

方法歸納：兩個(gè)二次根式相除，可采用根號(hào)前的系數(shù)與系數(shù)對(duì)應(yīng)相除，根號(hào)內(nèi)的被開(kāi)方數(shù)與被開(kāi)方數(shù)對(duì)應(yīng)相除，再把除得得結(jié)果相乘。

4.除法逆用：（a≥0，b>0）商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。

二次限式的加減法運(yùn)算

1.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫作同類二次根式。

關(guān)鍵提醒：定義中強(qiáng)調(diào)在化成最簡(jiǎn)二次根式后，要滿足“兩相同，即根指數(shù)是2，被開(kāi)方數(shù)相同”這一條件，這一定義的應(yīng)用很廣。

2.二次根式相加減

二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，找出同類次根式，然后把同類二次根式分別合并。

關(guān)鍵提醒:二次根式的加減和整式的加減很相似，前者是合并同類二次根式，后者為合并同類項(xiàng)。

相同點(diǎn)

1.兩者都是兩個(gè)代數(shù)式間的一種關(guān)系。同類項(xiàng)是兩個(gè)單項(xiàng)間的關(guān)系，字母及相同字母的指數(shù)都相同的項(xiàng)；同類二次根式是兩個(gè)二次根式間的關(guān)系，指化成最簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式。

2.兩者都能合并，而且合并法則相同。我們?nèi)绻炎詈?jiǎn)二次根式的根號(hào)部分看做是同類項(xiàng)的指數(shù)部分，把根號(hào)外的因式看做是同類項(xiàng)的系數(shù)部分，那么同類二次根式的合并法則與同類項(xiàng)的合并法則相同，即“同類二次根式（或同類項(xiàng)）相加減，根式（字母）不變，系數(shù)相加減”。

不同點(diǎn)

1.判斷準(zhǔn)則不同。判斷兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式是否為同類二次根式，其依據(jù)是“被開(kāi)方數(shù)是否相同”，與根號(hào)外的因式無(wú)關(guān)；而同類項(xiàng)的判斷依據(jù)是“字母因式及其指數(shù)是否對(duì)應(yīng)相同”，與系數(shù)無(wú)關(guān)。

2. 合并形式不同。