高數高斯公式

發(fā)布時間：2025-11-20 | 來源：互聯網轉載和整理

高數高斯公式是∮F·dS=∫(▽·F)dV。

根據《高等數學》第七版同濟大學下冊書中第十一章，曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式，通量與散度中的定義：

設空間閉區(qū)域Ω\OmegaΩ是由分片光滑的閉曲面∑\sum∑所圍成，若函數P(x,y,z)P\left(x,y,z\right)P(x,y,z)，Q(x,y,z)Q\left(x,y,z\right)Q(x,y,z)，R(x,y,z)R\left(x,y,z\right)R(x,y,z)在Ω\OmegaΩ上具有一階連續(xù)偏導數，則有?Ω(?x?P+?y?Q+?z?R)=∮∑Pdydz+Qdxdz+Rdxdy。

該公式的數學證明過程很復雜，這里不做過多說明，而且這個公式看起來也十分復雜，如何去形象的理解它就成了比較重要的事情。我們可以看到這個公式的左側是一個體積積分，右側是一個面積積分，也就是說，高斯公式實際上是將體積積分與面積積分聯系起來的一個公式。下面我們來賦予式中各項相應的物理意義。嘗試從流體力學的角度來理解這一公式。

我們假設曲面∑\sum∑包裹著一部分流體。

PPP：沿著yz平面的閉曲面內的包裹流體的流速。

QQQ：沿著xz平面的閉曲面內的包裹流體的流速。

RRR：沿著xy平面的閉曲面內的包裹流體的流速。

如果考慮上單位時間，那么等式(1)\left(1\right)(1)的右側我們可以理解為，是閉曲面∑\sum∑所圍成的整個立體封閉式體積空間內向外的流量。