數(shù)列的通項(xiàng)公式

發(fā)布時(shí)間：2025-08-23 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

1、an=(-1)^(nm)，其中m為任意一個(gè)奇數(shù)。

2、按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，而將數(shù)列{an} 的第n項(xiàng)用一個(gè)具體式子（含有參數(shù)n）表示出來，稱作該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

3、這正如函數(shù)的解析式一樣，通過代入具體的n值便可求知相應(yīng)an?項(xiàng)的值。

4、而數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，通常是由其遞推公式經(jīng)過若干變換得到。

5、數(shù)列連加相減：例：{an}滿足a?+ 2a?+ 3a?+……+ nan?= n(n+1)(n+2)解：令bn?= a?+ 2a?+ 3a?+……+ nan?= n(n+1)(n+2)nan?= bn?- bn-1?= n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)∴an?= 3（n+1）這是明顯的交錯(cuò)數(shù)列，n為奇數(shù)時(shí)an=1n為偶數(shù)時(shí)an=-1(n=1,2,3.)故an=(-1)^(nm)，其中m為任意一個(gè)奇數(shù)。

6、遞推公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與它前一項(xiàng)或幾項(xiàng)的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。

7、數(shù)列遞推公式特點(diǎn)：1）有些數(shù)列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。

8、2）有些數(shù)列沒有遞推公式，即有遞推公式不一定有通項(xiàng)公式。

9、有窮數(shù)列和無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”（finite sequence）；項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列為“無窮數(shù)列”（infinite sequence）。

10、對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列：（數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)的為正項(xiàng)數(shù)列）。

11、1）從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；如：1，2，3，4，5，6，7。

12、2）從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；如：8，7，6，5，4，3，2，1。

13、3）從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列（搖擺數(shù)列）。

14、（3）周期數(shù)列：各項(xiàng)呈周期性變化的數(shù)列叫做周期數(shù)列（如三角函數(shù)）。

15、（4）常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做常數(shù)數(shù)列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

16、這是明顯的交錯(cuò)數(shù)列，n為奇數(shù)時(shí)an=1n為偶數(shù)時(shí)an=-1(n=1,2,3.)故an=(-1)^(nm)其中m為任意一個(gè)奇數(shù)，當(dāng)然一般選1（偶數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)這樣偶數(shù)項(xiàng)的指數(shù)就是奇數(shù)，結(jié)果就是-1.奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)，那么奇數(shù)項(xiàng)的指數(shù)就是偶數(shù)，結(jié)果就是1）當(dāng)然只要能達(dá)到這樣的效果的其他任何以n為變量的離散函數(shù)表達(dá)式都可作為其通項(xiàng)公式an+a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)=0, a1=a2=1, a3=-1由XXX定理, 設(shè)an = DA^n + EB^n + FC^n有DA^n(1+A+A^2+A^3)=EB^n(1+B+B^2+B^3)=FC^n(1+C+C^2+C^3)=0所以 A,B,C 是方程 1+x+x^2+x^3 = 0 的三個(gè)根這個(gè)方程 x1=-1, x2=i, x3=-i代回原式, 有an = D(-1)^n + Ei^n + F(-i)^n代初始條件 a1=a2=1, a3=-1, 有1 = -D + iE - iF1 = D - E - F-1 = -D - iE + iF解得D=0, E=(-1-i)/2, F=(-1+i)/2所以, 數(shù)列1,1,-1,-1,1,1,-1,-1的通項(xiàng)公式為an = 1/2 * ((-1-i)i^n + (-1+i)(-i)^n)。