多項(xiàng)式的次數(shù)的定義

發(fā)布時(shí)間：2025-08-23 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都有次數(shù)，多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式中最高次數(shù)項(xiàng)的次數(shù)。一元多項(xiàng)式中，最高次項(xiàng)的次數(shù)就是該多項(xiàng)式的次數(shù)。

一、多項(xiàng)式的次數(shù)

多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都有次數(shù)，其中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

例：a2+ab+b2是二次三項(xiàng)式，x2+x+2 的次數(shù)是2，3x2y?+4xy-3的次數(shù)是7。

二、多項(xiàng)式的概念

多項(xiàng)式是指由變量、系數(shù)以及它們之間的加、減、乘、冪運(yùn)算得到的表達(dá)式。對(duì)于比較廣義的定義，1個(gè)或0個(gè)單項(xiàng)式的和也算多項(xiàng)式。0作為多項(xiàng)式時(shí)，次數(shù)定義為負(fù)無窮大（或0）。單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做 常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式是簡單的 連續(xù)函數(shù)，它是平滑的，它的微分也必定是多項(xiàng)式。

三、多項(xiàng)式的運(yùn)算

1.加法與乘法

有限的單項(xiàng)式之和稱為多項(xiàng)式。不同類的單項(xiàng)式之和表示的多項(xiàng)式，其中系數(shù)不為零的單項(xiàng)式的最高次數(shù)，稱為此多項(xiàng)式的次數(shù)。

多項(xiàng)式的加法，是指多項(xiàng)式中同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母保持不變(即合并同類項(xiàng))。多項(xiàng)式的乘法,是指把一個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式與另一個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式相乘之后合并同類項(xiàng)。

2.帶余除法

若 f(x)和g(x)是F[x]中的兩個(gè)多項(xiàng)式，且g(x)不等于0，則在F[x]中有唯一的多項(xiàng)式 q(x)和r(x)，滿足?(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)。此時(shí)q(x) 稱為g(x)除?(x)的商式，r(x)稱為余式。當(dāng)g(x)=x-α?xí)r，則r(x)=?(α)稱為余元，式中的α是F的元素。此時(shí)帶余除法具有形式?(x)=q(x)(x-α)+?(α)，稱為余元定理。g(x)是?(x)的因式的充分必要條件是g(x)除?(x)所得余式等于零。如果g(x)是?(x)的因式，那么也稱g(x) 能整除?(x)，或?(x)能被g(x)整除。特別地，x-α是?(x)的因式的充分必要條件是?(α)=0，這時(shí)稱α是?(x)的一個(gè)根。