求3000字有關(guān)數(shù)學(xué)史的論文

發(fā)布時(shí)間：2025-11-24 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

從算法教學(xué)管窺中國古代數(shù)學(xué)史

俞昕

(浙江湖州市第二中學(xué)313000)

關(guān)于算法的涵義,人們有著不同的界定.普

通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))在學(xué)生算法目標(biāo)達(dá)

成度上,重在算法思想的理解與應(yīng)用,界定現(xiàn)代算

法的意義就是解決某一類問題的辦法.確切地說,

就是對于某一類特定的問題,算法給出了解決問

題的一系列(有窮)操作,即每一操作都有它的確

定性的意義(使計(jì)算機(jī)能夠按照它的指令工作),

并在有限時(shí)間(有窮步驟)內(nèi)計(jì)算出結(jié)果.

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))對!算法部

分?進(jìn)行說明時(shí),突出強(qiáng)調(diào)!需要特別指出的是,中

國古代數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵了豐富的算法思想?.吳文俊

先生曾經(jīng)說過!我們崇拜中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué),決非泥古

迷古、為古而古.復(fù)古是沒有出路的.我們的目的

不僅是要顯示中國古算的真實(shí)面貌,也不僅是為

了破除對西算的盲從,端正對中算的認(rèn)識(shí),我們主

要的也是真正的目的,是在于古為今用.?算法教

學(xué)中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)史教育價(jià)值,作為新時(shí)代

的高中數(shù)學(xué)教師是有必要了解這一點(diǎn)的.

1中國古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

古代數(shù)學(xué)思想分為兩大體系,一個(gè)是以歐幾

里得的幾何原本為代表的西方數(shù)學(xué)思想體系,

這個(gè)體系以公理化的思想、抽象化的方法、封閉的

演繹體系為特色.另一個(gè)則是以我國的九章算

術(shù)為代表的東方數(shù)學(xué)思想體系,這個(gè)體系以算法

化的思想、構(gòu)造性的方法、開放的歸納體系為特

色.我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在從問題出發(fā),以解決問題為主

旨的發(fā)展過程中,建立了以構(gòu)造性與機(jī)械化為其

特色的算法體系,這與西方數(shù)學(xué)以歐幾里得幾何

原本為代表的所謂公理化演繹體系正好遙遙

相對.

中國古代數(shù)學(xué)中的!術(shù)?相當(dāng)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)術(shù)語

中的!公式?,兩者雖有相同點(diǎn)(都可以用來解決一

類有關(guān)問題),其差異也非常之大.主要表現(xiàn)在,

!公式?只提供了幾個(gè)有關(guān)的量之間的關(guān)系,指明

通過哪些運(yùn)算可由已知量求出未知量,但并沒有

列出具體的運(yùn)算程序,一般地,認(rèn)為這種程序是已

知的了.但!術(shù)?則由怎樣運(yùn)算的詳細(xì)程序構(gòu)成的,

可以說它是為完成公式所指出的各種運(yùn)算的具體

程序,即把!公式?展開為使用某種計(jì)算工具的具

體操作步驟.從這點(diǎn)看,!術(shù)?正是現(xiàn)代意義上的算

法,是用一套!程序語言?所描寫的程序化算法,可

以照搬到現(xiàn)代計(jì)算機(jī)上去.我國古代數(shù)學(xué)包括了

今天初等數(shù)學(xué)中的算術(shù)、代數(shù)、***和三角等多方

面的內(nèi)容.由于受實(shí)用價(jià)值觀的影響,中國傳統(tǒng)數(shù)

學(xué)的研究遵循著一種算法化思想,這種思想從九

章算術(shù)開始一直是中國古代數(shù)學(xué)著作大都沿襲

的模式:

實(shí)際問題###歸類###籌式模型化###程序化算法

即將社會(huì)生產(chǎn)生活中的問題,先編成應(yīng)用問題,按

問題性質(zhì)分類,然后概括地近似地表述出一種數(shù)

學(xué)模型,借助于算籌,得到這一類問題的一般解

法.把算法綜合起來,得到一般原理,分別隸屬于

各章,人們按照書中的方法、原理和實(shí)例來解決各

種實(shí)際問題.可以說,中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以確定算法為

基本內(nèi)容,又以創(chuàng)造和改進(jìn)算法為其發(fā)展的方向.

受九章算術(shù)的影響,在之后的幾個(gè)世紀(jì),一

些數(shù)學(xué)家的著作都以算法為主要特點(diǎn),包括王孝

通的輯古算經(jīng)、賈憲的黃帝九章算法細(xì)草、劉

益的議古根源、秦九韶的數(shù)書九章、李冶的

測圓海鏡和益古演段、楊輝的詳解九章算

法、日用算法和楊輝算法,這些著作中包括

了增乘開方術(shù)、賈憲三角、高次方程數(shù)值解法、內(nèi)

插法、一次同余式組解法等一些著名的算法,進(jìn)一

步發(fā)展了中國古代數(shù)學(xué)算法化的特點(diǎn),使得算法

的特點(diǎn)得到了進(jìn)一步的強(qiáng)化和發(fā)展.

11中國古代數(shù)學(xué)的算法化思想

算法化的思想是中國古代數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn),

并貫穿于中國古算整個(gè)發(fā)展過程之中.即使是與

24數(shù)學(xué)通報(bào)2010年第49卷第2期圖形有關(guān)的幾何問題也不例外,中算家們將幾何

方法與算法有機(jī)地結(jié)合起來,實(shí)現(xiàn)了幾何問題的

算法化.這樣從問題出發(fā)建立程序化的算法一直

是古代中國數(shù)學(xué)研究的傳統(tǒng),也是中算家們努力

的方向.這種算法化的思想著重構(gòu)造實(shí)踐,更強(qiáng)調(diào)

!經(jīng)驗(yàn)?、!發(fā)現(xiàn)?和構(gòu)造性思維方式下從無到有的

發(fā)明,對今天的算法教學(xué)與研究具有重要的啟迪

作用.

中國古代數(shù)學(xué)算法化的思想具體表現(xiàn)如下:

第一步,把實(shí)際中提出的各種問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模

型;第二步,把各種數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程;第

三步,把代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一種程序化的算法;第四

步,設(shè)計(jì)(并逐步改進(jìn))、歸納、推導(dǎo)(寓推理于算法

之中)出各種算法;第五步,通過計(jì)算回溯逐步達(dá)

到解決原來的問題.

12中國古代數(shù)學(xué)的構(gòu)造性方法

所謂構(gòu)造性方法是解決數(shù)學(xué)問題的一種方

法,是創(chuàng)造性思維方式直接作用的結(jié)果.按照現(xiàn)代

直覺主義者,特別是構(gòu)造主義者的觀點(diǎn),對于一個(gè)

數(shù)學(xué)對象,只有當(dāng)它可以通過有限次的操作而獲

得,并且在每步操作之后都能有效地確定下一步

所需要采取的操作,才能說它是存在的.按照這種

思維方式,可以使概念和方法按固定的方式在有

限步驟內(nèi)進(jìn)行定義或得以實(shí)施,或給出一個(gè)行之

有效的過程使之在有限步驟內(nèi)將結(jié)果確定地構(gòu)造

出來.換言之,就是能用有限的手段刻畫數(shù)學(xué)對象

并針對問題提出具體的解法.

中國古代數(shù)學(xué)的算法化思想與構(gòu)造性的方法

緊密相連.由于古代中算家所關(guān)心的大多是較為

實(shí)用的問題,他們在解決問題時(shí)首先考慮是如何

得到可以直接應(yīng)用的、可以方便操作的解,而不會(huì)

滿足于僅僅知道解在理論上的存在性.因?yàn)檫@種

純粹的理論解對于受實(shí)用價(jià)值觀影響的中算家來

說是沒有多大意義的.從而我們推斷,構(gòu)造性方法

的產(chǎn)生是算法化思想直接作用的結(jié)果.

從我國許多經(jīng)典算書中可以發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)構(gòu)造

性方法在算法中有許多精彩的體現(xiàn).例如就!方

程?的籌算圖陣及其程序設(shè)計(jì)而言,首先!群物總

雜,各列有數(shù),總言其實(shí)?,這是對每行中未知數(shù)的

系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的安排,其次!令每行為率,二物者

再程,三物者三程,皆如物數(shù)程之?,這是對諸行關(guān)

系的安排,!并列為行?又說明了什么叫!方程?.這

為中國古代數(shù)學(xué)的構(gòu)造性方法提供了一個(gè)具有說

服力的樣板.

由于構(gòu)造性的方法特別強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的可操作程

度,所以構(gòu)造出的!術(shù)?可以通過一系列有限的運(yùn)

算求出解來,具有一般性.時(shí)至今日我國古算家所

設(shè)計(jì)的許多算法幾乎都可以整套照搬到現(xiàn)代的電

子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).這也是我國古算在算法上長期

居于領(lǐng)先地位的一個(gè)重要原因.

2中國古代數(shù)學(xué)中的優(yōu)秀算法案例

2.1中國古代的代數(shù)學(xué)

代數(shù)學(xué)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中一個(gè)值得驕傲和自

豪的領(lǐng)域.中小學(xué)數(shù)學(xué)中的算術(shù)、代數(shù)內(nèi)容,從記

數(shù)以至解聯(lián)立的線性方程組,實(shí)質(zhì)上都是中國古

代數(shù)學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造.結(jié)合新課程的算法教學(xué),筆

者選取我國古代著名算法進(jìn)行分析.

2.1.1求最大公約數(shù)的算法(更相減損術(shù))

中國古代數(shù)學(xué)中,未曾出現(xiàn)素?cái)?shù)、因數(shù)分解等

概念,但是發(fā)明了求兩整數(shù)的最大公約數(shù)的方

法###更相減損術(shù):!可半者半之,不可半者,副置

分母子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也.以等

數(shù)約之.?事實(shí)上此術(shù)中包含了三個(gè)步驟:

第一步,!可半者半之?,即進(jìn)行觀察,若分子、

分母都是偶數(shù),可先取其半;

第二步,!不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少

減多,更相減損,求其等也?;

第三步,!以等數(shù)約之?.

其中第二步!以少減多,更相減損?是關(guān)鍵,又

是典型的機(jī)械化程序.在中國古代數(shù)學(xué)中,將最大

公約數(shù)稱作!等?.由于!更相減損?過程終可以在

有限步驟內(nèi)實(shí)現(xiàn),所以它是一種構(gòu)造性的方法.若

用現(xiàn)代語言翻譯即為:第一步,任意給定兩個(gè)正整

數(shù),判斷它們是否都是偶數(shù).若是,用2約減,若不

是,執(zhí)行第二步.第二步,以較大的數(shù)減去較小的

數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減

小數(shù).繼續(xù)這個(gè)操作,直到所得的數(shù)相等為止,則

這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所

求的最大公約數(shù).下面運(yùn)用QBASIC語言來編寫

相應(yīng)的程序(見程序1).

252010年第49卷第2期數(shù)學(xué)通報(bào)程序1

INPUT!m,n=?;m,n

IFm<nTHEN

a=m

m=n

n=a

ENDIF

k=0

WHILEmMOD2=0ANDnMOD2=0

m=m/2

n=n/2

k=k+1

WEND

d=m-n

WHILEdn

IFd>nTHEN

m=d

ELSE

m=n

n=d

ENDIF

d=m-n

WEND

d=2?k*d

PRINTd

END

程序2

INPUTA,B

WHILEAB

IFA>BTHEN

A=A-B

ELSE

B=B-A

ENDIF

WEND

PRINTB

END

程序3

INPUT!M,N(M>N)?;M,N

DO

R=M-N

IFR>NTHEN

M=R

ELSE

M=N

N=R

ENDIF

LOOPUNTILR=0

PRINTM

END

程序4

INPUT!n=?;n

INPUT!an=?;a

INPUT!x=?;x

v=a

i=n-1

WHILEi>=0

PRINT!i=?;i

INPUT!ai=?;a

v=v*x+a

i=i-1

WEND

PRINTv

END

程序2和3是兩個(gè)簡化的參考程序,是從不

同的角度來實(shí)現(xiàn)更相減損的過程.

!更相減損術(shù)?提供了一種求兩數(shù)最大公約數(shù)

的算法,這是九章算術(shù)的一個(gè)重要成就,與古希

臘歐幾里得的幾何原本中用來求最大公約數(shù)的

!歐幾里得算法?,即輾轉(zhuǎn)相除法,有異曲同工之

妙.歐幾里得在幾何原本中針對這個(gè)問題引入

了許多概念,給出了冗長的邏輯證明.盡管如此,

他還是暗用了一條未加說明的公理,即如果a,b

都被c整除,則a-mb也能被c整除.中國古算采

用的!更相減損?方法,實(shí)際上也暗用了一條未加

說明的公理,即若a-b可以被c整除,則a,b都

能被c整除.正如劉徽在九章算術(shù)注中!其所以

相減者,皆等數(shù)之重疊?.從形式上看!更相減損

術(shù)?比!輾轉(zhuǎn)相除法?更復(fù)雜,循環(huán)次數(shù)要比輾轉(zhuǎn)相

除法多,但對于計(jì)算機(jī)來說作乘除運(yùn)算要比作加

減運(yùn)算慢得多,因此更相減損術(shù)在計(jì)算機(jī)上更為

好用.

26數(shù)學(xué)通報(bào)2010年第49卷第2期2.1.2求一元n次多項(xiàng)式值的算法(秦九韶算

法)

秦九韶,南宋著名數(shù)學(xué)家,其學(xué)術(shù)思想充分體

現(xiàn)在數(shù)書九章這一光輝名著中,該著作不僅繼

承了九章算術(shù)的傳統(tǒng)模式,對中算的固有特點(diǎn)

發(fā)揚(yáng)光大,而且完全符合宋元社會(huì)的歷史背景,是

中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上的光輝篇章.書中記載了!正

負(fù)開方術(shù)?、!大衍求一術(shù)?等著名算法.

在數(shù)書九章卷五第17個(gè)問題以!尖田求

積?為例的算法程序中,可以看出秦九韶對于求一

元n次多項(xiàng)式f(x)=anx

n

+an-1x

n-1

+%+a1x

+a0的值所提出的算法.秦九韶算法的特點(diǎn)在于

通過反復(fù)計(jì)算n個(gè)一次多項(xiàng)式,逐步得到原多項(xiàng)

式的值.在歐洲,英國數(shù)學(xué)家霍納(Horner)在

1819年才創(chuàng)造了類似的方法,比秦九韶晚了572

年.秦九韶算法把求f(x)=anx

n

+an-1x

n-1

+%

+a1x+a0的值轉(zhuǎn)化為求遞推公式

v0=an

vk=vk-1x+an-kk=1,2,%,n

中vn的值.通

過這種轉(zhuǎn)化,把運(yùn)算的次數(shù)由至多(1+n)n

2

次乘

法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算,減少為至多n次乘法運(yùn)

算和n次加法運(yùn)算,大大提高了運(yùn)算效率.這種算

法的QBASIC語言程序如程序4所示.算法步驟

是如下的五步:第一步,輸入多項(xiàng)式次數(shù)n、最高

次項(xiàng)的系數(shù)an和x的值;第二步,將v的值初始

化為av,將i的值初始化為n-1;第三步,輸入i

次項(xiàng)的系數(shù)ai;第四步,v=vx+ai,i=i-1;第五

步,判斷i是否大于或等于0,若是,則返回第三

步,否則輸出多項(xiàng)式的值v.

2.2中國古代的幾何學(xué)

中國古代的幾何學(xué)從田畝丈量等生產(chǎn)生活中

的一些實(shí)際問題中產(chǎn)生,并為生產(chǎn)生活服務(wù).基于

傳統(tǒng)實(shí)用價(jià)值觀的影響,中國古代的幾何學(xué)并沒

有發(fā)展成為像歐氏幾何那樣嚴(yán)密的公理化演繹體

系,所以中國古代幾何學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)史上的地位

并不突出,但在許多幾何問題的處理上也突出了

算法化這一特色.下面以!割圓術(shù)?為例作簡要

分析.

中國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立!割圓術(shù)?來求圓的

面積及其相關(guān)問題.劉徽!瓤而裁之?,即對與圓周

合體的正多邊形進(jìn)行無窮小分割,分成無窮多個(gè)

以正多邊形每邊為底、圓心為頂點(diǎn)的小等腰三角

形,這無窮多個(gè)小三角形的面積之和就是圓的面

積.這樣通過對直線形的無窮小分割,然后求其極

限狀態(tài)的和的方式證明了圓的面積公式.劉徽的

算法!割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可

割,則與圓合體而無所失矣?體現(xiàn)出程序化的過

程,可以看出圓內(nèi)接正多邊形逐漸逼近圓的變化

趨勢,并且劉徽依此開創(chuàng)了求圓周率精確近似值

的方法,將這種極限思想用于近似計(jì)算.其中包含

有迭代過程和子程序,是一種典型的循環(huán)算法,充

分體現(xiàn)了程序化的特點(diǎn).

中算家的幾何學(xué),并不追求邏輯論證的完美,

而是著重于實(shí)際計(jì)算問題的解決,!析理以辭,解

體用圖?,以建立解決問題的一般方法和一般原

則.但另一方面,這種幾何學(xué)又是以面積、體積、勾

股相似等為基本概念,以長方形面積算法、長方形

體積算法、相似勾股形的性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)的,整個(gè)幾

何理論建立在!出入相補(bǔ)原理?等基本原理之上.

例如,由勾股定理自然地引起平方根的計(jì)算問題,

而求平方根和立方根的方法,其步驟就是以出入

相補(bǔ)原理為幾何背景逐步索驥而得.這方面內(nèi)容

的介紹,不僅可以豐富學(xué)生的算法知識(shí),而且可以

通過揭示蘊(yùn)藏其中的數(shù)學(xué)背景和文化內(nèi)涵,激發(fā)

學(xué)生學(xué)習(xí)算法的興趣,體會(huì)算法在人類發(fā)展史中

的作用.

3中國古代數(shù)學(xué)算法的教學(xué)價(jià)值

3.1培養(yǎng)正確數(shù)學(xué)觀的良好平臺(tái)

中國傳統(tǒng)算法盡管與現(xiàn)代算法在具體形式上

差別很大,但是重要的是形式后面的認(rèn)識(shí)論發(fā)展

線索可以為現(xiàn)代算法教學(xué)的體系、教學(xué)層次提供

依據(jù).它的具體數(shù)學(xué)知識(shí)載體也是現(xiàn)代算法教學(xué)

的重要源泉.各種算法的創(chuàng)立就是創(chuàng)造性勞動(dòng)的

產(chǎn)物,即是創(chuàng)造思維的一種!凝固?和!外化?.其

次,通過把一部分問題的求解歸結(jié)為對于現(xiàn)成算

法的!機(jī)械應(yīng)用?,這就為人們積極地去從事新的

創(chuàng)造性勞動(dòng)提供了更大的可能性.從而算法化也

就意味著由一個(gè)平臺(tái)向更高點(diǎn)的跳躍.

吳文俊先生的研究使中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的算法重

見天日,開拓了數(shù)學(xué)機(jī)械化的新領(lǐng)域,吳先生提出

!數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化就是機(jī)械化?.他在研究中這

樣寫道:數(shù)學(xué)問題的機(jī)械化,就要求在運(yùn)算和證明

過程中,每前進(jìn)一步之后,都有一個(gè)確定的必須選

272010年第49卷第2期數(shù)學(xué)通報(bào)擇的下一步,這樣沿著一條有規(guī)律的,刻板的道

路,一直達(dá)到結(jié)論.證明機(jī)械化的實(shí)質(zhì)在于,把通

常數(shù)學(xué)證明中所固有的質(zhì)的困難,轉(zhuǎn)化為計(jì)算的

量的復(fù)雜性.計(jì)算的量的復(fù)雜性在過去是人力不

可能解決的,而計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)解決了這種復(fù)雜性.

吳先生的理論和實(shí)踐已經(jīng)表明,證明和計(jì)算是數(shù)

學(xué)的兩個(gè)方面,且又是統(tǒng)一的,這在數(shù)學(xué)教育中具

有重要意義.我們應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生了解古人對問題

思考的角度,學(xué)會(huì)站在巨人的肩膀上,比如按照中

國古代開方術(shù)的思路就可以編造程序在現(xiàn)代計(jì)算

機(jī)上實(shí)現(xiàn)開方.

培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)更多地關(guān)心

所學(xué)知識(shí)的社會(huì)意義和歷史意義,力圖在面向未

來的同時(shí)通過同傳統(tǒng)上的哲學(xué)、歷史和社會(huì)學(xué)的

思想結(jié)合起來,形成正確的數(shù)學(xué)觀.算法教學(xué)就為

此搭建了一個(gè)良好的平臺(tái),并且承載豐富的歷史

底蘊(yùn).

3.2滲透愛國主義教育的最佳契機(jī)

與西方相比,中算理論具有高度概括與精練

的特征,中算家經(jīng)常將其依據(jù)的算理蘊(yùn)涵于演算

的步驟之中,起到!不言而喻,不證自明?的作用,

可以認(rèn)為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)乃是為建立那些在實(shí)際中

有直接應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法而構(gòu)造的最為簡單,精巧

的理論建筑物.因此中算理論可以說是一種!綱

目結(jié)構(gòu)?:目是組成理論之網(wǎng)的眼孔;綱是聯(lián)結(jié)細(xì)

目的總繩.以術(shù)為目,以率為綱,即是依算法劃分

理論單元,而用基本的數(shù)量關(guān)系把它們連結(jié)成一

個(gè)整體.綱舉目張,只有抓住貫串其中的基本理論

與原理,才能看清算法的來龍去脈.下面是吳文俊

先生總結(jié)的!關(guān)于算術(shù)代數(shù)部分發(fā)明創(chuàng)造的一張

中外對照表?.

從算法教學(xué)管窺中國古代數(shù)學(xué)史

中國外國

位值制十進(jìn)位記最遲在九章算術(shù)成書時(shí)已十分成熟印度最早在6世紀(jì)末才出現(xiàn)

分?jǐn)?shù)運(yùn)算周髀算經(jīng)中已有,在九章算術(shù)成

書時(shí)已成熟印度最早在7世紀(jì)才出現(xiàn)

十進(jìn)位小數(shù)劉徽注中引入,宋秦九韶1247年時(shí)已

通行西歐16世紀(jì)時(shí)始有之,印度無

開平方、立方周髀算經(jīng)中已有開平方,九章算

術(shù)中開平、立方已成熟

西方在4世紀(jì)末始有開平方,但還無開立方,印度

最早在7世紀(jì)

算術(shù)應(yīng)用九章算術(shù)中有各種類型的應(yīng)用問題印度7世紀(jì)后的數(shù)學(xué)書中有某些與中國類似的問

題與方法

正負(fù)數(shù)九章算術(shù)中已成熟印度最早見于7世紀(jì),西歐至16世紀(jì)始有之

聯(lián)立一次方程組九章算術(shù)中已成熟印度7世紀(jì)后開始有一些特殊類型的方程組,西

方遲至16世紀(jì)始有之

二次方程九章算術(shù)中已隱含了求數(shù)值解法,

三國時(shí)有一般解求法印度在7世紀(jì)后,***在9世紀(jì)有一般解求法

三次方程唐初(公元7世紀(jì)初)有列方程法,求

數(shù)值解已成熟

西歐至16世紀(jì)有一般解求法,***10世紀(jì)有

幾何解

高次方程宋時(shí)(12#13世紀(jì))已有數(shù)值解法西歐至19世紀(jì)初始有同樣方法

聯(lián)立高次方程組與消元法元時(shí)(14世紀(jì)初)已有之西歐甚遲,估計(jì)在19世紀(jì)

28數(shù)學(xué)通報(bào)2010年第49卷第2期3.3品位數(shù)學(xué)美學(xué)思想的美妙境界

中國古代數(shù)學(xué)不但具有實(shí)用性特征,還蘊(yùn)涵

著豐富的美學(xué)思想.比如九章算術(shù)中列方程的

方式,相當(dāng)于列出其增廣矩陣,其消元過程相當(dāng)于

矩陣變換,而矩陣是數(shù)學(xué)美學(xué)方法中對稱最典型

的表現(xiàn)形式之一;九章算術(shù)中用幾何方法巧妙

地解決了很多代數(shù)問題,這是數(shù)形結(jié)合的統(tǒng)一:把

數(shù)學(xué)問題改編成歌訣,以便于掌握和傳授,這是文

學(xué)藝術(shù)與數(shù)學(xué)的統(tǒng)一.總之,在算法教學(xué)中,應(yīng)努

力把握和利用自己文化傳統(tǒng)中的積極因素進(jìn)行教

學(xué),這對數(shù)學(xué)教育的發(fā)展具有重要的意義.

參考文獻(xiàn)

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11李亞玲.算法及其學(xué)習(xí)的意義[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2004,2

(上接第23頁)實(shí)驗(yàn)教師對課改實(shí)驗(yàn)進(jìn)行探索、總

結(jié)、反思、調(diào)整,推廣比較成熟的經(jīng)驗(yàn),同時(shí)糾正實(shí)

驗(yàn)過程中的偏頗與極端行為,教學(xué)過程逐步進(jìn)入

新的穩(wěn)定階段.教學(xué)過程逐步過渡到以問題為主

線、以活動(dòng)為主線的!無環(huán)節(jié)?模式.

(2)受不同的教學(xué)理念影響,教師角色、學(xué)生

角色、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過程關(guān)注點(diǎn)等方面,在教學(xué)

過程中有很大差異.

教師角色學(xué)生角色教學(xué)目標(biāo)教學(xué)過程關(guān)注

領(lǐng)導(dǎo)者

(權(quán)威)

接受者

(被動(dòng))

讓學(xué)生掌

握數(shù)學(xué)知

識(shí)技能

知識(shí)引入,講解

本質(zhì),鞏固練習(xí)

主導(dǎo)者

(決定)

觀察者

(協(xié)助)

讓學(xué)生觀

摩數(shù)學(xué)產(chǎn)

生過程

展示過程,注重

建構(gòu),強(qiáng)化訓(xùn)練

引導(dǎo)者

(組織)

參與者

(主動(dòng))

讓學(xué)生參

與探究數(shù)

學(xué)生成過

程

問題情境,提出

問題,學(xué)生活動(dòng)

(3)2004年高中數(shù)學(xué)課程改革后,課堂教學(xué)

發(fā)生一定的變化,廣泛地進(jìn)行!創(chuàng)設(shè)情境?!提出問

題?!引導(dǎo)學(xué)生探究探索?,出現(xiàn)了以!問題主線?、

!活動(dòng)主線?為主的課堂,出現(xiàn)了!問題情境學(xué)生

活動(dòng)建立數(shù)**用數(shù)學(xué)同顧反思?的整體課堂

構(gòu)思.這些改變對于揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì),發(fā)展學(xué)

生的思維能力起到積極的作用.

(4)由于受多種因素制約(特別是高考),與初

中相比,本次課改后高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)變化幅度

不大,近半數(shù)的課堂教學(xué)模式仍然以五環(huán)節(jié)為主.

對于課改倡導(dǎo)的教學(xué)理念,只是滲透在傳統(tǒng)的教

學(xué)模式中,目前高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的力度、深

度與課改的預(yù)期目標(biāo)還有一定的距離.我們看到

2008年的賽課教案的創(chuàng)新、探索力度,遠(yuǎn)沒有

1990年的名師授課錄大,那時(shí)還沒有明確提出

課改理念,但他們卻進(jìn)行積極的探索,關(guān)注學(xué)生主

體.而今天,課改的理念已經(jīng)系統(tǒng)培訓(xùn)5年,許多

教師仍停留在形式層面,未能變成自覺的行為.

參考文獻(xiàn)

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2編委會(huì).名師授課錄(中學(xué)數(shù)學(xué)高中版)[M],上海教育出版

社,1991

32000年全國首屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比的教

案(會(huì)議資料)

42008年全國第四屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比的

教案(會(huì)議資料)

5李善良.關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中問題的設(shè)計(jì)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),

2008,1

292010年第49卷第2期數(shù)學(xué)通報(bào)