傅里葉級(jí)數(shù)是什么

發(fā)布時(shí)間：2025-11-28 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

sinwt的傅里葉變換公式是：cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。

傅里葉變換就是把信號(hào)表示成正弦波的疊加。經(jīng)過傅里葉變換，信號(hào)f(t)變?yōu)镕(w)，F(xiàn)(w)的大小表征了頻率為w的正弦波的強(qiáng)度。你的問題是要解釋一下為什么這樣變換就可以做到這件事。

數(shù)學(xué)上我們說正弦波是正交的，意思是e^(jwt)e^(-jw't)積分后是delta函數(shù)，w'=w時(shí)為無(wú)窮大，否則為0。試類比矢量的正交，設(shè)x,y分別是二維空間里兩個(gè)方向的單位矢量，他們正交是指他們之間的點(diǎn)積x.x=y.y=1,x.y=0。

傅里葉變換的相關(guān)公式：

e^(-jwt)=cos(wt)-jsin(wt)

e^(jwt)=cos(wt)+jsin(wt)

sin(wt)=(1/2j)[e^(jwt)-e^(-jwt)]

cos(wt)=(1/2j)[e^(jwt)+e^(-jwt)]

有了以上公式，就可將傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換/反變換等相關(guān)公式，改寫成“指數(shù)形式（e的指數(shù)形式）”。

它同時(shí)展示了一點(diǎn)：

e^(jwt)在復(fù)平面中，可以作為一個(gè)“基”，因?yàn)樗呀?jīng)包含了實(shí)軸（實(shí)數(shù)單位“1”）上和虛軸（虛數(shù)單位“j”）上兩個(gè)正交的“基”。這也從另一個(gè)方面解釋了，為什么總是可以用之前傅里葉的方法，來“分解”很多函數(shù)。