逆矩陣有什么性質(zhì)

發(fā)布時(shí)間：2025-12-15 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

逆矩陣的性質(zhì)：

1、可逆矩陣是方陣。

2、矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。

4、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT可逆，并且（AT）-1=（A-1）T 。

5、若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。

6、兩個(gè)可逆矩陣乘積依然是可逆的。設(shè)A是數(shù)域上的一個(gè)n階矩陣，若在相同數(shù)域上存在另一個(gè)n階矩陣B，使得：AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為單位矩陣。逆矩陣的唯一性：若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的。擴(kuò)展資料：如果矩陣A和B互逆，則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知，矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個(gè)矩陣的乘積的行列式等于這兩個(gè)矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個(gè)矩陣的行列式都不為0。也就是說這兩個(gè)矩陣的秩等于它們的級數(shù)（或稱為階，也就是說，A與B都是方陣，且rank(A) = rank(B) = n）。證明：

1、逆矩陣是對方陣定義的，所以逆矩陣一定是方陣。設(shè)B與C都為A的逆矩陣，則有B=C2、假設(shè)B和C均是A的逆矩陣，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，所以某矩陣的任意兩個(gè)逆矩陣相等。

3、由逆矩陣的唯一性，A-1的逆矩陣可寫作（A-1）-1和A，所以相等。

4、矩陣A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I5、由可逆矩陣的定義可知，AT可逆，其逆矩陣為（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，所以（AT）-1=（A-1）T。