三角形中線定理解析（中線定理的四種證法詳解）

發(fā)布時(shí)間：2025-08-17 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

中線定理：已知AD是△ABC的邊BC上的中線，則

中線定理給出了三角形的中線與三邊的關(guān)系，這個(gè)定理是怎么得到的呢？下面我們將給出該定理的四種證明方法。

證法一（純幾何法）：

由平方關(guān)系，聯(lián)想到勾股定理，為此構(gòu)造直角三角形。

過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，根據(jù)△ABC的不同形狀，垂足E可能在線段BD上、線段CD上、BC的延長(zhǎng)線或CB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)然E還可能與D點(diǎn)重合，此時(shí)△ABC是等腰三角形，結(jié)論顯然成立。下面我們只證明垂足E在線段CD上的情況，其他情況類似證明。

由勾股定理，有：

所以，

故

證法二（解析幾何法）：

解析幾何法的特點(diǎn)在于計(jì)算，需要用到了兩點(diǎn)之間的距離公式。

因?yàn)镈點(diǎn)為中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有：

（此處，我們用表示P點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，下同。）

則

由恒等關(guān)系：

進(jìn)一步可得：

，得證。

證法三（余弦定理）：

使用余弦定理證明也很簡(jiǎn)潔。

由余弦定理得：

因?yàn)锽D=CD，∠ADB+∠ADC=180°，

所以

所以

從而

證法四（向量法）：

由于，所以，

從而

故