線性代數：如何求特征值和特征向量

發(fā)布時間：2025-08-22 | 來源：互聯網轉載和整理

求解矩陣的特征值和特征向量是線性代數中的重要問題，下面是求解過程：特征值的求解設 AA 是一個 nn 階方陣，\\lambdaλ 是 AA 的一個特征值，xx 是 AA 的一個對應于特征值 \\lambdaλ 的特征向量，則有：Ax=\\lambda xAx=λx移項得：(A-\\lambda I)x=0(A?λI)x=0其中，II 是 nn 階單位矩陣。

由于 xx 不為零向量，所以 A-\\lambda IA?λI 不可逆，即 \\det(A-\\lambda I)=0det(A?λI)=0。這個式子稱為特征方程，可以求出 AA 的所有特征值。特征向量的求解對于每個特征值 \\lambda_iλi，我們可以通過解齊次線性方程組 (A-\\lambda_i I)x=0(A?λiI)x=0 求出對應的特征向量 x_ixi。注意特征向量不唯一，只有方向相同?？偨Y一下求解矩陣的特征值和特征向量的步驟如下：求解特征方程 \\det(A-\\lambda I)=0det(A?λI)=0，得到所有的特征值 \\lambda_1,\\lambda_2,\\cdots,\\lambda_nλ1,λ2,?,λn。對于每個特征值 \\lambda_iλi，解齊次線性方程組 (A-\\lambda_i I)x=0(A?λiI)x=0，得到對應的特征向量 x_ixi。需要注意的是，特征值和特征向量是矩陣的固有屬性，不隨矩陣的行列式、秩等性質的變化而變化。在實際應用中，求解矩陣的特征值和特征向量可以用于矩陣的對角化、矩陣的相似變換等問題。