如何判斷矩陣合同

發(fā)布時(shí)間：2025-08-27 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

判斷矩陣合同要兩個(gè)矩陣合同的條件是特征值的正負(fù)慣性指數(shù)相同（即特征值正負(fù)個(gè)數(shù)相同），所以實(shí)對(duì)稱矩陣相似必然合同。

1、對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A, 若其前n-1階順序主子式都非零, 那么A可以用Gauss消去法分解成A=LDL^T的形式得k階順序主子式可以從D的前k個(gè)對(duì)角元得到, 這就是判斷慣性指數(shù)的原理如果前n-1階順序主子式中出現(xiàn)0, 那么上述方法會(huì)失效, 一般可以做適當(dāng)排序之后做上述分解并允許D含有2階對(duì)角塊，設(shè)M是n階實(shí)系數(shù)對(duì)稱矩陣，如果對(duì)任何一非零實(shí)向量X，都使二次型f(X)=X′MX>0，則稱f(X)為正定二次型，f(X)的矩陣M稱為正定矩陣。一種實(shí)對(duì)稱矩陣。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩陣A(=A′)稱為正定矩陣。判定定理1：對(duì)稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特征值全為正。

2、正交變換時(shí)，合同的對(duì)角矩陣是由A的特征值構(gòu)成的，其它合同變換時(shí)，合同的對(duì)角矩陣不是由A的特征值構(gòu)成的，不過特征值的正負(fù)的個(gè)數(shù)（慣性指數(shù)）相同。實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)第1個(gè)矩陣的正負(fù)慣性指數(shù)分別為2,1第2個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的二次型經(jīng)配方法可知其正負(fù)慣性指數(shù)分別為2,1故兩個(gè)矩陣合同倘若我們總是以自己的尺度來衡量萬事萬物，則我們什么也得不到。所謂矩陣合同， 關(guān)鍵是矩陣合同需要如何寫?？偨Y(jié)；那么不管這個(gè)內(nèi)積是怎么定義的，你都把矩陣當(dāng)作了一個(gè)向量。因?yàn)橹挥性谙蛄靠臻g里才能定義內(nèi)積。即，雖然你寫出一個(gè)m*n的矩陣，實(shí)際上你把它看成了一串長長得mn*1維（或者1*mn）的向量。