什么是韋達(dá)定理

發(fā)布時(shí)間：2025-09-02 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

韋達(dá)定理（又叫一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,簡(jiǎn)稱根系關(guān)系.）指出,一元二次方程的兩根的和等于它的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根的積等于它的常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.

假設(shè)一元二次方程ax2+bx+C=0(a不等于0)，方程的兩根x1,x2和方程的系數(shù)a、b、c就滿足：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

如果兩數(shù)α和β滿足如下關(guān)系：α+β=-b/a，α·β=c/a，那么這兩個(gè)數(shù)α和β是方程ax2+bx+C=0的根。通過韋達(dá)定理的逆定理，可以利用兩數(shù)的和積關(guān)系構(gòu)造一元二次方程。

根的判別式是判定方程是否有實(shí)根的充要條件，韋達(dá)定理說明了根與系數(shù)的關(guān)系。無論方程有無實(shí)數(shù)根，實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)之間適合韋達(dá)定理。判別式與韋達(dá)定理的結(jié)合，則更有效地說明與判定一元二次方程根的狀況和特征。

韋達(dá)定理最重要的貢獻(xiàn)是對(duì)代數(shù)學(xué)的推進(jìn)，它最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號(hào)，推進(jìn)了方程論的發(fā)展，用字母代替未知數(shù)，指出了根與系數(shù)之間的關(guān)系。韋達(dá)定理為數(shù)學(xué)中的一元方程的研究奠定了基礎(chǔ)，對(duì)一元方程的應(yīng)用創(chuàng)造和開拓了廣泛的發(fā)展空間。

達(dá)定理的歷史

1、法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(Fran?oisViète,1540-1603)在1615年出版的《方程的理解與修正》中給出一系列根與系數(shù)關(guān)系的定理，其中第一個(gè)定理是關(guān)于一元二次方程的。

在韋達(dá)生活的時(shí)代，西方人還沒有接受負(fù)數(shù)的概念，韋達(dá)所說的根與系數(shù)關(guān)系只適用于有兩個(gè)不相等正根的一元二次方程，因此韋達(dá)所發(fā)現(xiàn)的根與系數(shù)關(guān)系與我們今天所說的韋達(dá)定理相去甚遠(yuǎn)，但韋達(dá)是歷史上第一個(gè)以定理的形式討論方程根與系數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)家。

2、荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾（A.Girard,1595-1632）在1629年出版《代數(shù)新發(fā)明》一書，書中討論了一般次方程根與系數(shù)的關(guān)系，他認(rèn)為方程的根也可以是負(fù)數(shù)和虛數(shù)，并提出：一個(gè)n次方程應(yīng)該有n個(gè)根，這就是后人所說的代數(shù)基本定理。

3、瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler，1707-1783）在代數(shù)基礎(chǔ)》中首次給出了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的嚴(yán)格證明。

4、蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里斯（W.Wallace,1768-1843）在為《大英百科全書》所寫的“代數(shù)學(xué)”詞條中，在歐拉基礎(chǔ)上，補(bǔ)充了韋達(dá)定理在推導(dǎo)求根公式時(shí)的應(yīng)用。