什么叫冪矩陣

發(fā)布時間：2025-09-05 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

冪等矩陣

冪等矩陣（idempotent matrix）若a為方陣，且a^2＝a，則a稱為冪等矩陣。

冪等矩陣的2個主要性質(zhì)：

1.其特征值只可能是0，1。

2.可對角化。

如果要加個對稱的條件，那么就滿足a^t=a

對角的冪等矩陣矩陣就滿足這兩個條件。

方陣A的k次冪定義為 k 個A連乘:A^k = AA...A (k個)

一些常用的性質(zhì)有：

1. (A^m)^n = A^mn

2. A^mA^n = A^(m+n)

一般計算的方法有：

1. 計算A^2,A^3 找規(guī)律, 然后用歸納法證明

2. 若r(A)=1, 則A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A

注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)

3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二項式公式展開

適用于 B^n 易計算, C的低次冪為零矩陣: C^2 或 C^3 = 0.

4. 用對角化 A=P^-1diagP

A^n = P^-1diag^nP