橢圓的周長計(jì)算公式

發(fā)布時間：2025-08-20 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

橢圓周長計(jì)算公式？

橢圓周長公式：L=2πb+4(a-b)橢圓周長定理：橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長（2πb）加上四倍的該橢圓長半軸長（a）與短半軸長（b）的差。

擴(kuò)展資料：最早由阿貝爾提出，歐拉發(fā)展。

對這類問題的討論引出一門數(shù)學(xué)分支－－橢圓積分(變分法)，仍然方興未艾。

以下是幾個比較簡單的近似公式：公式一至公式六為一般精度，滿足簡單計(jì)算需要；公式八為高精度，滿足比較專業(yè)一些的計(jì)算需要。

橢圓周長公式：L=2πb+4（a-b）這些公式均符合橢圓的基本規(guī)律,當(dāng)a=b時，L=2aπ，1、 L1 =π·qn/ atan(n)(b→a，q=a+b，n=((a-b)/a))^2這是根據(jù)圓周長和割圓術(shù)原理推導(dǎo)的，精度一般。

2、 L2 =π·θ/(π/4)·(a-c+c/sinθ)(b→0，c=√(a^2-b^2)，θ=acos((a-b)/a)^1.1)這是根據(jù)兩對扇形組成橢圓得特點(diǎn)推導(dǎo)的，精度一般。

3、 L3 =π·q(1 +mn)(q=a+b，m=4/π-1，n=((a-b)/a)^3.3)這是根據(jù)圓周長公式推導(dǎo)的，精度一般。

4、 L4 =π·√(2a^2 + 2b^2)·(1 +mn)(m=2√(2/π)-1，n=((a-b)/a)^2.05)這是根據(jù)橢圓a=b時得基本特點(diǎn)推導(dǎo)的，精度一般。

5、 L5 = √(4ab·π^2 + 15(a-b)^2)·(1 +mn)(m=4/√(15)-1 ，n=((a-b)/a)^9 )這是根據(jù)橢圓a=b，c=0時是特點(diǎn)推導(dǎo)的，精度較好。

6、L6= π√[2(a^2+b^2)] (較近似)7、L7=π[3/2(a+b)-√(ab)] (較精確)8、L8 =π·q(1 + 3h/(10 + √(4-3h)))·(1 +mn)(q=a+b，h=((a-b)/(a+b))^2，m=22/7π-1，n=((a-b)/a)^33.697)這是根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)公式提煉的，精度很高。

我們知道圓的周長和直徑成正比，比值為圓周率，只要知道圓的直徑，很容易就能算出圓的周長。

然而，橢圓的周長卻很難計(jì)算出來，因?yàn)闄E圓的周長無法通過初等函數(shù)進(jìn)行表示。

不過，存在一些能夠比較準(zhǔn)確地計(jì)算出橢圓周長的近似初等公式。

圓的特點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都是固定的，這個距離我們稱之為半徑。

但橢圓沒有像圓一樣擁有一個始終是常數(shù)的半徑，取而代之的是定義了兩個參數(shù)：長軸和短軸。

長軸過橢圓的兩個焦點(diǎn)，是橢圓上最長的弦，從中心到端點(diǎn)的線段被稱為半長軸（用字母a表示）。

短軸垂直平分于長軸，從中心到端點(diǎn)的線段被稱為半短軸（用字母b表示）。

對于偏心率（用字母e表示）不是特別高的橢圓，也就是說形狀不是特別的橢圓，可以通過求出橢圓的平均半徑來計(jì)算周長。

只要求出橢圓的平均半徑，我們就可以像計(jì)算圓的周長那樣來近似計(jì)算橢圓的周長：C=2πr。

由于橢圓的平均半徑為：r=√[(a^2+b^2)/2]，所以橢圓的近似周長為：如果半長軸沒有超過半短軸的3倍（a/b<3），則這種近似方法計(jì)算出的橢圓周長的誤差小于5%。

印度數(shù)學(xué)家拉馬努金提出了兩個更好的橢圓周長近似初等公式：公式（3）的計(jì)算精度更高，可以用22/7來近似替代圓周率，誤差小于0.05%。

此外，橢圓周長的精確公式可以用無窮級數(shù)進(jìn)行表達(dá)：由于是無窮級數(shù)，我們無法算出其精確值，只能通過計(jì)算足夠多的項(xiàng)數(shù)來提高計(jì)算精度。

總之，在計(jì)算橢圓周長時，根據(jù)所需的精度來選擇相應(yīng)的近似公式。

橢圓周長的計(jì)算很麻煩，有簡單的近似計(jì)算公式，也有復(fù)雜但精確的采用無窮級數(shù)來定義的公式。

無論是哪種計(jì)算公式都涉及到pai，都是通過將橢圓和圓進(jìn)行類比來得出的。

但是，印度數(shù)學(xué)一代怪杰，拉馬努金提供了兩個計(jì)算橢圓周長的高精度近似計(jì)算公式，而他發(fā)現(xiàn)用22/7=3.142857.來代替真實(shí)的pai值，近似的效果更好，真是一代奇才，讓我們欣賞下他提供的橢圓周長計(jì)算的近似公式。

精確計(jì)算公式需要用無窮級數(shù)進(jìn)行表達(dá)：但***，我們沒法計(jì)算這個無窮級數(shù)最終答案，也同樣只能進(jìn)行近似解，只不過有了這個公式，理論上我們可以無限逼近我們想要的精度，那也就夠用了。

現(xiàn)在，讓我們來思考一下橢圓，為什么圓的周長計(jì)算公式那么簡單？實(shí)際上，最初人們完全是依賴經(jīng)驗(yàn)感覺到圓的周長和直徑之間的比值似乎是個不變的值——一個常數(shù)項(xiàng)！然后，人們就大膽的假設(shè)事實(shí)就是如此，剩下的就是如何得出這個常數(shù)來，如何讓這個常數(shù)的精度計(jì)算提高。

但要想從數(shù)學(xué)上證明或者推導(dǎo)出圓周長計(jì)算公式需要微積分問世。

把這個方程寫成參數(shù)方程然后進(jìn)行積分就得到結(jié)果自然就是：C = 2π * r幸運(yùn)的是，最初的猜想是正確的。

當(dāng)然，為了避免循環(huán)論證，在使用三角函數(shù)的時候，要把pai和圓脫鉤，不然就是循環(huán)論證了。

其實(shí)，由于圓是特殊的橢圓，即長軸和短軸相等的橢圓，因此在上述的橢圓周長精確計(jì)算公式中將此條件帶入，那么圓的周長計(jì)算公式也能同樣導(dǎo)出。