向量平行公式和垂直公式

發(fā)布時間：2025-08-21 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

向量平行公式：向量a=（x1,y1），向量b=（x2,y2）

x1y2-x2y1=0

a⊥b的充要條件是a·b=0，即（x1x2+y1y2）=0

向量垂直公式：向量a=（a1,a2），向量b=（b1,b2）

a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb（λ是一個常數(shù)）

a垂直b：a1b1+a2b2=0

向量平行的坐標公式

兩個向量a,b平行：a=λb（b不是零向量）；兩個向量垂直：數(shù)量積為0,即ab=0。

坐標表示：a=（x1,y1），b=（x2,y2）

a//b當且僅當x1y2-x2y1=0

a⊥b當且僅當x1x2+y1y2=0

在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得：a=xi+yj，我們把（x,y）叫做向量a的（直角）坐標，記作：a=（x,y）。

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，上式叫做向量的坐標表示。在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。

向量垂直公式證明

1、幾何角度：向量A（x1,y1），長度L1=√（x12+y12）

向量B（x2,y2），長度L2=√（x22+y22）

（x1,y1）到（x2,y2）的距離：D=√[（x1-x2）2+（y1-y2）2]

兩個向量垂直，根據(jù)勾股定理：L12+L22=D2

∴（x12+y12）+（x22+y22）=（x1-x2）2+（y1-y2）2

∴x12+y12+x22+y22=x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22

∴0=-2x1x2-2y1y2

∴x1x2+y1y2=0

2、擴展到三維角度：x1x2+y1y2+z1z2=0,那么向量（x1,y1,z1）和（x2,y2,z2）垂直

綜述，對任意維度的兩個向量L1,L2垂直的充分必要條件是：L1×L2=0成立。

向量的四種運算

四種運算：向量的加法、向量的減法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積。前三種運算結(jié)果仍為向量，向量的數(shù)量積為實數(shù)。

向量的加法、減法和數(shù)乘向量的坐標運算就是坐標相加、減和數(shù)乘；向量的數(shù)量積的代數(shù)運算是兩向量的模與其夾角的余弦之積，坐標運算是兩向量的橫坐標之積與縱坐標之積的和。

向量的數(shù)量積的代數(shù)運算應用較多，常見題型有求向量多項式的乘積及有關求模的問題。此類題在高考中反復考查。務必熟練掌握。

向量的表達方式

1、代數(shù)表示

一般印刷用黑體的小寫英文字母（a、b、c等）來表示，手寫用在a、b、c等字母上加一箭頭（→）表示，也可以用大寫字母AB、CD上加一箭頭（→）等表示。

2、幾何表示

向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的長度。長度為0的向量叫做零向量，記作長度等于1個單位的向量，叫做單位向量。箭頭所指的方向表示向量的方向。

向量的記法

印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（并于頂上加→）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數(shù)對形式表示。

向量的種類

零向量：長度為0的向量。

單位向量：長度為1個單位長度的向量。

平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量。

相等向量：長度相等且方向相同的向量。

相反向量：長度相等且方向相反的向量。

平行向量：又稱共線向量，是指方向相同或相反的非零向量。零向量和任何向量平行。