收斂半徑的求法

發(fā)布時(shí)間：2025-08-21 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

根據(jù)達(dá)朗貝爾審斂法，收斂半徑R滿足：如果冪級(jí)數(shù)滿足，則：ρ是正實(shí)數(shù)時(shí)，R=1/ρ；ρ= 0時(shí)，R=+∞；ρ=+∞時(shí)，R=0。根據(jù)根值審斂法，則有柯西-阿達(dá)馬公式?；蛘?，復(fù)分析中的收斂半徑將一個(gè)收斂半徑是正數(shù)的冪級(jí)數(shù)的變量取為復(fù)數(shù)，就可以定義一個(gè)全純函數(shù)。

如果冪級(jí)數(shù)在a附近可展，并且收斂半徑為r，那么所有滿足|za|=r的點(diǎn)的***（收斂圓盤的邊界）是一個(gè)圓，稱為收斂圓。冪級(jí)數(shù)在收斂圓上可能收斂也可能發(fā)散。即使冪級(jí)數(shù)在收斂圓上收斂，也不一定絕對(duì)收斂。

例1：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是1并在整個(gè)收斂圓上收斂。設(shè)h(z)是這個(gè)級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)，那么h(z)是例2中的g(z)除以z后的導(dǎo)數(shù)。h(z)是雙對(duì)數(shù)函數(shù)。

例2：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是1并在整個(gè)收斂圓上一致收斂，但是并不在收斂圓上絕對(duì)收斂。

用第n+1項(xiàng)除以第n項(xiàng),整個(gè)的絕對(duì)值,小于1,解出x(或x-a這決定于你級(jí)數(shù)的展開)的絕對(duì)值小于的值就是收斂半徑收斂域就是求使其收斂的所有的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域。

比如收斂半徑是r,求收斂域,就是判斷x(或x-a)的對(duì)值r時(shí)必發(fā)散,所以只要判斷=r時(shí)的兩個(gè)點(diǎn)是否收斂即可,如過有收斂就把該點(diǎn)并到<r的區(qū)域上即得收斂域。