高等數(shù)學(xué)函數(shù)求極限

發(fā)布時(shí)間：2025-09-24 | 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

分析：基本題，你的概念太差了，一點(diǎn)書(shū)都沒(méi)看，只是記了一下公式。以下詳細(xì)解答你的疑惑

答：

1、求極限首要想到用洛必達(dá)法則，但是洛必達(dá)法則的條件是：必須是∞/∞或者0/0型，而所求極限的形式為：0^無(wú)窮大型，顯然不能直接求；

2、對(duì)于指數(shù)式，有一個(gè)很簡(jiǎn)單的變換是：x=e^(lnx)（初中內(nèi)容，從這里也可以看出，你數(shù)學(xué)一直不好，基本上從來(lái)不看書(shū)不理解，只是記公式?。┮虼耍?/p>

y=[x^(1/x)-1]^(1/lnx)可以變成：

y=e^ln{[x^(1/x)-1]^(1/lnx)}=e^{ln[x^(1/x)-1]/lnx}

=e^ln{[x^(1/x)-1]^(1/lnx)}=e^{ln[e^(lnx/x)-1]/lnx}

原極限

=lim(x→+∞)[x^(1/x)-1]^(1/lnx)

=lim(x→+∞)e^ln{[x^(1/x)-1]^(1/lnx)}

=e^{lim(x→+∞)ln[x^(1/x)-1]/lnx}

2、

分子→(洛必達(dá))[e^(lnx/x)]·(lnx/x)'/[e^(lnx/x)-1]

=[e^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x2]/[e^(lnx/x)-1]

分母→(洛必達(dá))1/x

原分式=分子/分母

=[xe^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x2]'/[e^(lnx/x)-1]

上式中：根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小e^x-1～x，因此：e^(lnx/x)-1～lnx/x

而lim(x→+∞)lnx/x=lim(x→+∞)(1/x)/1=lim(x→+∞)1/x=0

因此：

lim(x→+∞)e^(lnx/x)=e^0=1

原分式

=lim(x→+∞)x·[(1-lnx)/x2]'/(lnx/x)

=lim(x→+∞)(1-lnx)/(lnx)

=lim(x→+∞)(1/lnx)-1

=-1

原式=e^{lim(x→+∞)ln[x^(1/x)-1]/lnx}

=e^(-1)

=1/e