怎樣使用格林公式

發(fā)布時(shí)間：2025-10-01 | 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

當(dāng)曲線L圍成的區(qū)域?yàn)殚]區(qū)域時(shí)，就可以運(yùn)用格林公式。

格林公式的值不一定是零，但是當(dāng)?P/?y=?Q/?x時(shí)，曲線積分的結(jié)果與路徑無(wú)關(guān)

那么二重積分的值就是零。

其實(shí)三題都是用格林公式，二重積分值都是零。

只是第(2)題的曲線本身能圍成閉區(qū)域，而第(3)(4)題需要添加直線才能圍成閉區(qū)域。

第(2)題的曲線是星形線，是個(gè)合區(qū)域，所以可直接用格林公式。

∮LPdx+Qdy=±∫∫D[?Q/?x-?P/?y]dxdy=0

第(3)題只是一個(gè)弧線，不能圍成合區(qū)域，所以要使用格林公式

要添加線段y=0和x=π/2，所以這三條曲線使區(qū)域閉合

并且取正向(逆時(shí)針)時(shí)，格林公式取+號(hào)，負(fù)向(順時(shí)針)時(shí)，格林公式取-號(hào)

然后用格林公式的二重積分結(jié)果減掉該兩條直線的曲線積分，就得原式的結(jié)果。

曲線L：x=(π/2)y2，(x，y)：(0，0)→(π/2，1)，順時(shí)針

添加L1：y=0，dy=0，x：π/2→0，順時(shí)針

添加L2：x=π/2，dx=0，y：1→0，順時(shí)針

∮(L+L1+L2)Pdx+Qdy=-∫∫D[?Q/?x-?P/?y]dxdy=0

∫L1Pdx+Qdy=∫(π/2，0)0dx=0

∫L2Pdx+Qdy=∫(1→0)[1-2y+3(π/2)2y2]dy=-π2/4

既然三個(gè)線段圍成閉區(qū)域，它們的積分也同樣道理：

L+L1+L2=閉曲線(L+L1+L2)

∫L+∫L1+∫L2=∮(L+L1+L2)

∫L=∮(L+L1+L2)-∫L1-∫L2

即∫LPdx+Qdy=0-0-(-π2/4)=π2/4

第(4)題跟第(3)題同樣原理，1/4個(gè)圓弧不足以圍成閉區(qū)域，于是添加線段y=0和x=1

那么就可以應(yīng)用格林公式了。

曲線L：y=√(2x-x2)，(x，y)：(0，0)→(1，1)，順時(shí)針

直線L1：y=0，dy=0，x：1→0，順時(shí)針

直線L2：x=1，dx=0，y：1→0，順時(shí)針

∮(L+L1+L2)Pdx+Qdy=-∫∫D[?Q/?x-?P/?y]dxdy=0

∫L1Pdx+Qdy=∫(1→0)x2dx=-1/3

∫L2Pdx+Qdy=∫(1→0)-(1+sin2y)dy=3/2-(1/4)sin(2)

∫L+∫L1+∫L2=∮(L+L1+L2)

∫L=0-(-1/3)-[3/2-(1/4)sin(2)]=-7/6+(1/4)sin(2)

我這個(gè)方法跟你書(shū)上那個(gè)的道理是一樣的。

∫L(順時(shí)針)+∫L1(順時(shí)針)+∫L2(順時(shí)針)=-∮(L+L1+L2)(順時(shí)針)=0

∫L(順時(shí)針)=0-∫L1(順時(shí)針)-∫L2(順時(shí)針)

∫L(順時(shí)針)=∫L1(逆時(shí)針)+∫L2(逆時(shí)針)

通常都選擇用直線跟L繞成閉區(qū)域，因?yàn)橹本€的導(dǎo)數(shù)能簡(jiǎn)單求出，容易簡(jiǎn)化。

另外若被積函數(shù)上有奇點(diǎn)，就得繞開(kāi)奇點(diǎn)部分，挖一個(gè)足夠小的圓形或橢圓形，然后用格林公式減掉該部分的積分。