積分變限函數(shù)求導(dǎo)推導(dǎo)

發(fā)布時間：2025-10-05 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

我們常用的變限函數(shù)形式大致都是∫f(t)dt（積分限t（x）到k（x）），當(dāng)我們給定一個x的時候，由函數(shù)的映射關(guān)系的出t（x）和k（x）都對應(yīng)一個值，則∫f(t)dt為一個確定的值。

將積分分為兩部分：

∫f(t)dt（積分限t（x）到k（x））=∫f(t)dt（t（x）到a）+∫f(t)dt（a到k（x））。

由導(dǎo)數(shù)的定義來求導(dǎo)數(shù)，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趨于0，積分限前者為a到x+h，后者為a到x）=lim∫f(t)dt/h（積分限x到x+h，根據(jù)的是積分的區(qū)間可加性）。

根據(jù)積分中值定理，存在ξ屬于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因為h趨于0時ξ是趨于x的，故極限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此證明了g'(x)=f(x)，∫f(t)dt（t（x）到a）同理可證。

最后得出變限函數(shù)求導(dǎo)公式

擴展資料：

函數(shù)的連續(xù)性：

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則積分變上限函數(shù)在[a,b]上連續(xù)。

導(dǎo)數(shù)推廣：

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，X0為[a，b]內(nèi)任一點，則變動上積限積分滿足：

原函數(shù)存在定理：

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分變上限函數(shù)就是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)。