高數(shù)中值定理

發(fā)布時間：2025-10-15 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉載和整理

高等數(shù)學的七大中值定理一般是考試中必考的，包括零點定理、介值定理、三大微分中值定理【羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理】、泰勒中值定理與積分中值定理，但一般情況得分率普遍很低，希望考生好好把握，下面我們一起看看證明題有哪些的關鍵的特征可以提取，以便于我們固化求解模式，提高解題速度與準確率。

在看到題目時，往往會知道使用某個中值定理，因為這些問題有個很明顯的特征—含有某個中值。關鍵在于是對哪個函數(shù)在哪個區(qū)間上使用哪個中值定理。

?使用零點定理問題的基本格式是“證明方程f(x)=0在a,b之間有一個(或者只有一個)根”。從題目中我們一目了然，應當是對函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內使用零點定理。應當注意的是零點定理只能說明零點在某個開區(qū)間內，當要求說明根在某個閉區(qū)間或者半開半閉區(qū)間內時，需要對這些端點做例外說明。

?介值定理問題可以化為零點定理問題，也可以直接說明，如“證明在(a,b)內存在ξ，使得f(ξ)=c”，僅需要說明函數(shù)f(x)在[a,b]內連續(xù)，以及c位于f(x)在區(qū)間[a,b]的值域內。

?用微分中值定理說明的問題中，有兩個主要特征：含有某個函數(shù)的導數(shù)(甚至是高階導數(shù))、含有中值(也可能有多個中值)。應用微分中值定理主要難點在于構造適當?shù)暮瘮?shù)。在微分中值定理證明問題時，需要注意下面幾點：

(1)當問題的結論中出現(xiàn)一個函數(shù)的一階導數(shù)與一個中值時，肯定是對某個函數(shù)在某個區(qū)間內使用羅爾定理或者拉格朗日中值定理;

(2)當出現(xiàn)多個函數(shù)的一階導數(shù)與一個中值時，使用柯西中值定理，此時找到函數(shù)是最主要的;

(3)當出現(xiàn)高階導數(shù)時，通常歸結為兩種方法，對低一階的導函數(shù)使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理說明;