數(shù)學(xué)的歷史進(jìn)程

發(fā)布時(shí)間：2025-10-15 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

1（前3500-前500）數(shù)學(xué)起源與早期發(fā)展：古埃及數(shù)學(xué)、美索不達(dá)米亞（古巴比倫）數(shù)學(xué)

2（前600-5世紀(jì)）古代希臘數(shù)學(xué)：論證數(shù)學(xué)的發(fā)端、歐式幾何

3（3世紀(jì)-14世紀(jì)）中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)、印度數(shù)學(xué)、***數(shù)學(xué)：實(shí)用數(shù)學(xué)的輝煌

4（12世紀(jì)-17世紀(jì)）近代數(shù)學(xué)的興起：代數(shù)學(xué)的發(fā)展、解析幾何的誕生

5（14世紀(jì)-18世紀(jì)）微積分的建立：牛頓與萊布尼茨的微積分建立

6（18世紀(jì)-19世紀(jì)）分析時(shí)代：微積分的各領(lǐng)域應(yīng)用

7（19世紀(jì)）代數(shù)的新生：抽象代數(shù)產(chǎn)生（近世代數(shù)）

8（19世紀(jì)）幾何學(xué)的變革：非歐幾何

9（19世紀(jì)）分析的嚴(yán)密化：微積分的基礎(chǔ)的嚴(yán)密化

10二十世紀(jì)的純粹數(shù)學(xué)的趨勢

11二十一世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的天下

中國數(shù)學(xué)的歷史進(jìn)程

中國古代是一個(gè)在世界上數(shù)學(xué)領(lǐng)先的國家，用近代科目來分類的話，可以看出無論在算術(shù)、數(shù)、幾何和三角各方而都十分發(fā)達(dá)?，F(xiàn)在就讓我們來簡單回顧一下初等數(shù)學(xué)在中國發(fā)展的歷史。

(一)屬于算術(shù)方面的材料

大約在3000年以前中國已經(jīng)知道自然數(shù)的四則運(yùn)算，這些運(yùn)算只是一些結(jié)果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的運(yùn)算規(guī)則在后來的“孫子算經(jīng)”(公元三世紀(jì))內(nèi)有了詳細(xì)的記載。中國古代是用籌來計(jì)數(shù)的，在我們古代人民的計(jì)數(shù)中，己利用了和我們現(xiàn)在相同的位率，用籌記數(shù)的方法是以縱的籌表示單位數(shù)、百位數(shù)、萬位數(shù)等；用橫的籌表示十位數(shù)、千位數(shù)等，在運(yùn)算過程中也很明顯的表現(xiàn)出來?！皩O子算經(jīng)”用十六字來表明它，“一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)?！?/p>

和其他古代國家一樣，乘法表的產(chǎn)生在中國也很早。乘法表中國古代叫九九，估計(jì)在2500年以前中國已有這個(gè)表，在那個(gè)時(shí)候人們便以九九來代表數(shù)學(xué)?，F(xiàn)在我們還能看到漢代遺留下來的木簡(公元前一世紀(jì))上面寫有九九的乘法口訣。

現(xiàn)有的史料指出，中國古代數(shù)學(xué)書“九章算術(shù)”(約公元一世紀(jì)前后)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則是世界上最早的文獻(xiàn)，“九章算術(shù)”的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和現(xiàn)在我們所用的幾乎完全一樣。

古代學(xué)習(xí)算術(shù)也從量的衡量開始認(rèn)識分?jǐn)?shù)，“孫子算經(jīng)”(公元三世紀(jì))和“夏候陽算經(jīng)”(公元六、七世紀(jì))在論分?jǐn)?shù)之前都開始講度量衡，“夏侯陽算經(jīng)”卷上在敘述度量衡后又記著：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，萬乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，萬除退四等?！边@種以十的方冪來表示位率無疑地也是中國最早發(fā)現(xiàn)的。

小數(shù)的記法元朝(公元十三世紀(jì))是用低一格來表示，如13.56作1356。在算術(shù)中還應(yīng)該提出由公元三世紀(jì)“孫子算經(jīng)”的物不知數(shù)題發(fā)展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一術(shù)，這就是中國剩余定理，相同的方法歐洲在十九世紀(jì)才進(jìn)行研究。

宋朝楊輝所著的書中(公元1274年)有一個(gè)1—300以內(nèi)的因數(shù)表，例如297用“三因加一損一”來代表，就是說297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫損一)。楊輝還用“連身加”這名詞來說明201—300以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。

(二)屬于代數(shù)方面的材料

從“九章算術(shù)”卷八說明方程以后，在數(shù)值代數(shù)的領(lǐng)域內(nèi)中國一直保持了光輝的成就。

“九章算術(shù)”方程章首先解釋正負(fù)術(shù)是確切不移的，正象我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)初等代數(shù)時(shí)從正負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算學(xué)起一樣，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)便豐富了數(shù)的內(nèi)容。

我們古代的方程在公元前一世紀(jì)的時(shí)候已有多元方程組、一元二次方程及不定方程幾種。一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明。不定方程的出現(xiàn)在二千多年前的中國是一個(gè)值得重視的課題，這比我們現(xiàn)在所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中國在公元七世紀(jì)的唐代王孝通“緝古算經(jīng)”已有記載，用“從開立方除之”而求出數(shù)字解答(可惜原解法失傳了)，不難想象王孝通得到這種解法時(shí)的愉快程度，他說誰能改動他著作內(nèi)的一個(gè)字可酬以千金。

十一世紀(jì)的賈憲已發(fā)明了和霍納(1786—1837)方法相同的數(shù)字方程解法，我們也不能忘記十三世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家秦九韶在這方面的偉大貢獻(xiàn)。

在世界數(shù)學(xué)史上對方程的原始記載有著不同的形式，但比較起來不得不推中國天元術(shù)的簡潔明了。四元術(shù)是天元術(shù)發(fā)展的必然產(chǎn)物。

級數(shù)是古老的東西，二千多年前的“周髀算經(jīng)”和“九章算術(shù)”都談到算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)。十四世紀(jì)初中國元代朱世杰的級數(shù)計(jì)算應(yīng)給予很高的評價(jià)，他的有些工作歐洲在十八、九世紀(jì)的著作內(nèi)才有記錄。十一世紀(jì)時(shí)代，中國已有完備的二項(xiàng)式系數(shù)表，并且還有這表的編制方法。

歷史文獻(xiàn)揭示出在計(jì)算中有名的盈不足術(shù)是由中國傳往歐洲的。

內(nèi)插法的計(jì)算，中國可上溯到六世紀(jì)的劉焯，并且七世紀(jì)末的僧一行有不等間距的內(nèi)插法計(jì)算。

十四世紀(jì)以前，屬于代數(shù)方面許多問題的研究，中國是先進(jìn)國家之一。

就是到十八九世紀(jì)由李銳(1773—1817)，汪萊(1768—1813)到李善蘭(1811—1882)，他們在這一方面的研究上也都發(fā)表了很多的名著。

(三)屬于幾何方面的材料

自明朝后期(十六世紀(jì))歐幾里得“幾何原本”中文譯本一部分出版之前，中國的幾何早已在獨(dú)立發(fā)展著。應(yīng)該重視古代的許多工藝品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蘊(yùn)藏了豐富的幾何知識。

中國的幾何有悠久的歷史，可靠的記錄從公元前十五世紀(jì)談起，甲骨文內(nèi)己有規(guī)和矩二個(gè)字，規(guī)是用來畫圓的，矩是用來畫方的。

漢代石刻中矩的形狀類似現(xiàn)在的直角三角形，大約在公元前二世紀(jì)左右，中國已記載了有名的勾股定理(勾股二個(gè)字的起源比較遲)。

圓和方的研究在古代中國幾何發(fā)展中占了重要位置。墨子對圓的定義是：“圓，一中同長也?！薄獋€(gè)中心到圓周相等的叫圓，這解釋要比歐幾里得還早一百多年。

在圓周率的計(jì)算上有劉歆(？一23)、張衡(78—139)、劉徽(263)、王蕃(219—257)、祖沖之(429—500)、趙友欽(公元十三世紀(jì))等人，其中劉徽、祖沖之、趙友欽的方法和所得的結(jié)果舉世聞名。

祖沖之所得的結(jié)果π=355/133要比歐洲早一千多年。

在劉徽的“九章算術(shù)”注中曾多次顯露出他對極限概念的天才。在平面幾何中用直角三角形或正方形和在立體幾何中用錐體和長方柱體進(jìn)行移補(bǔ)，這構(gòu)成中國古代幾何的特點(diǎn)。

中國數(shù)學(xué)家善于把代數(shù)上的成就運(yùn)用到幾何上，而又用幾何圖形來證明代數(shù)，數(shù)值代數(shù)和直觀幾何有機(jī)的配合起來，在實(shí)踐中獲得良好的效果．

正好說明十八、九世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家對割圓連比例的研究和項(xiàng)名達(dá)(1789—1850)用割圓連比例求出橢圓周長。這都是繼承古代方法加以發(fā)揮而得到的(當(dāng)然吸收外來數(shù)學(xué)的精華也是必要的)。

(四)屬于三角方面的材料

三角學(xué)的發(fā)生由于測量，首先是天文學(xué)的發(fā)展而產(chǎn)生了球面三角，中國古代天文學(xué)很發(fā)達(dá)，因?yàn)橐獩Q定恒星的位置很早就有了球面測量的知識；平面測量術(shù)在“周牌算經(jīng)”內(nèi)已記載若用矩來測量高深遠(yuǎn)近。

劉徽的割圓術(shù)以半徑為單位長求圓內(nèi)正六邊形，十二二邊形等的每一邊長，這答數(shù)是和2sinA的值相符(A是圓心角的一半)，以后公元十二世紀(jì)趙友欽用圓內(nèi)正四邊形起算也同此理，我們可以從劉徽、趙友欽的計(jì)算中得出7.5o、15o、22.5o、30o、45o等的正弦函數(shù)值。

在古代歷法中有計(jì)算二十四個(gè)節(jié)氣的日晷影長，地面上直立一個(gè)八尺長的“表”，太陽光對這“表”在地面上的射影由于地球公轉(zhuǎn)而每一個(gè)節(jié)氣的影長都不同，這些影長和“八尺之表”的比，構(gòu)成一個(gè)余切函數(shù)表(不過當(dāng)時(shí)還沒有這個(gè)名稱)。

十世紀(jì)的中國天文學(xué)家郭守敬(1231—1316)曾發(fā)現(xiàn)了球面三角上的三個(gè)公式?，F(xiàn)在我們所用三角函數(shù)名詞：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，這都是我國十六世紀(jì)已有的名稱，那時(shí)再加正矢和余矢二個(gè)函數(shù)叫做八線。

在十七世紀(jì)后期中國數(shù)學(xué)家梅文鼎(1633—1721)已編了一本平面三角和一本球面三角的書，平面三角的書名叫“平三角舉要”，包含下列內(nèi)容：(1)三角函數(shù)的定義；(2)解直角三角形和斜三角形；(3)三角形求積，三角形內(nèi)容圓和容方；(4)測量。這已經(jīng)和現(xiàn)代平面三角的內(nèi)容相差不遠(yuǎn)，梅文鼎還著書講到三角上有名的積化和差公式。十八世紀(jì)以后，中國還出版了不少三角學(xué)方面的書籍。

據(jù)《易·系辭》記載：「上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字。從一到十及百、千、萬是專用的記數(shù)文字，共有13個(gè)獨(dú)立符號，記數(shù)用合文書寫，其中有十進(jìn)制制的記數(shù)法，出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬。

算籌是中國古代的計(jì)算工具，而這種計(jì)算方法稱為籌算。算籌的產(chǎn)生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時(shí)代已很普遍。

用算籌記數(shù)有縱、橫兩種方式：　　　　

表示一個(gè)多位數(shù)字時(shí)，采用十進(jìn)位值制，各位值的數(shù)目從左到右排列，縱橫相間﹝法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當(dāng)﹞，并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運(yùn)算建立起良好的條件。

籌算直到十五世紀(jì)元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數(shù)學(xué)就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。

在幾何學(xué)方面《史記·夏本記》中說夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測量工具，并早已發(fā)現(xiàn)「勾三股四弦五」這個(gè)勾股定理﹝西方稱勾股定理﹞的特例。戰(zhàn)國時(shí)期齊國人著的《考工記》匯總了當(dāng)時(shí)手工業(yè)技術(shù)的規(guī)范，包含了一些測量的內(nèi)容，并涉及到一些幾何知識，例如角的概念。

戰(zhàn)國時(shí)期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義?！肚f子》記載了惠施等人的名家學(xué)說和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題，強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想，例如「至大無外謂之大一，至小無內(nèi)謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數(shù)學(xué)命題是相當(dāng)可貴的數(shù)學(xué)思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。

另外講述陰陽八卦，預(yù)言吉兇的《易經(jīng)》已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽，并反映出二進(jìn)制的思想?！?/p>

二、中國數(shù)學(xué)體系的形成與奠基

這一時(shí)期包括從秦漢、魏晉、南北朝，共400年間的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。秦漢是中國古代數(shù)學(xué)體系的形成時(shí)期，為使不斷豐富的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、理論化，數(shù)學(xué)方面的專書陸續(xù)出現(xiàn)。

現(xiàn)傳中國歷史最早的數(shù)學(xué)專著是1984年在湖北江陵張家山出土的成書于西漢初的漢簡《算數(shù)書》，與其同時(shí)出土的一本漢簡歷譜所記乃呂后二年（公元前186年），所以該書的成書年代至晚是公元前186年（應(yīng)該在此前）。

西漢末年﹝公元前一世紀(jì)﹞編纂的《周髀算經(jīng)》，盡管是談?wù)撋w天說宇宙論的天文學(xué)著作，但包含許多數(shù)學(xué)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠(yuǎn)的陳子測日法，為后來重差術(shù)（勾股測量法）的先驅(qū)。另外還有較復(fù)雜的開方問題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。

《九章算術(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，約成書于東漢初年﹝公元前一世紀(jì)﹞。全書采用問題集的形式編寫，共收集了246個(gè)問題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測量的計(jì)算等。在代數(shù)方面《方程》章中所引入的負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則，在世界數(shù)學(xué)史上都是最早的記載；書中關(guān)于線性方程組的解法和現(xiàn)在中學(xué)講授的方法基本相同。就《九章算術(shù)》的特點(diǎn)來說它注重應(yīng)用，注重理論聯(lián)系實(shí)際，形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系，對中國古算影響深遠(yuǎn)。它的一些成就如十進(jìn)制值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和***，并通過這些國家傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。

魏晉時(shí)期中國數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。其中趙爽（生卒年代不詳）和劉徽（生卒年代不詳）的工作被認(rèn)為是中國古代數(shù)學(xué)理論體系的開端。三國吳人趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一，對《周髀算經(jīng)》做了詳盡的注釋,在《勾股圓方圖注》中用幾何方法嚴(yán)格證明了勾股定理，他的方法已體現(xiàn)了割補(bǔ)原理的思想。趙爽還提出了用幾何方法求解二次方程的新方法。263年，三國魏人劉徽注釋《九章算術(shù)》，在《九章算術(shù)注》中不僅對原書的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，系統(tǒng)地闡述了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，而且在其論述中多有創(chuàng)造，在卷1《方田》中創(chuàng)立割圓術(shù)（即用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積的辦法），為圓周率的研究工作奠定理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法，他運(yùn)用“割圓術(shù)”得出圓周率的近似值為3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，為解決球體積公式的問題而構(gòu)造了“牟合方蓋”的幾何模型，為祖暅獲得正確結(jié)果開辟了道路；為建立多面體體積理論，運(yùn)用極限方法成功地證明了陽馬術(shù)；他還撰著《海島算經(jīng)》，發(fā)揚(yáng)了古代勾股測量術(shù)----重差術(shù)。

南北朝時(shí)期的社會長期處于戰(zhàn)爭和分裂狀態(tài)，但數(shù)學(xué)的發(fā)展依然蓬勃。出現(xiàn)了《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》等算學(xué)著作。約于公元四-五世紀(jì)成書的《孫子算經(jīng)》給出「物不知數(shù)」問題并作了解答，導(dǎo)致求解一次同余組問題在中國的濫暢；《張丘建算經(jīng)》的「百雞問題」引出三個(gè)未知數(shù)的不定方程組問題。

公元五世紀(jì)祖沖之、祖暅父子的工作在這一時(shí)期最具代表性，他們在《九章算術(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步，成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。他們同時(shí)在天文學(xué)上也有突出的貢獻(xiàn)。其著作《綴術(shù)》已失傳，根據(jù)史料記載，他們在數(shù)學(xué)上主要有三項(xiàng)成就：(1)計(jì)算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內(nèi)的最佳值，歐洲直到十六世紀(jì)德國人鄂圖（valentinusotto）和荷蘭人安托尼茲（a.anthonisz)才得出同樣結(jié)果；(2)祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積的正確公式，并提出冪勢既同則積不容異的體積原理，即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。歐洲十七世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（bonaventuracavalieri）才提出同一定理；(3)發(fā)展了二次與三次方程的解法。

同時(shí)代的天文歷學(xué)家何承天創(chuàng)調(diào)日法，以有理分?jǐn)?shù)逼近實(shí)數(shù)，發(fā)展了古代的不定分析與數(shù)值逼近算法。

三、中國數(shù)學(xué)教育制度的建立

隋朝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通撰《緝古算經(jīng)》，主要是通過土木工程中計(jì)算土方、工程的分工與驗(yàn)收以及倉庫和地窖計(jì)算等實(shí)際問題，討論如何以幾何方式建立三次多項(xiàng)式方程，發(fā)展了《九章算術(shù)》中的少廣、勾股章中開方理論。

隋唐時(shí)期是中國封建官僚制度建立時(shí)期，隨著科舉制度與國子監(jiān)制度的確立，數(shù)學(xué)教育有了長足的發(fā)展。656年國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書》﹝包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》﹞，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。對保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。

由于南北朝時(shí)期的一些重大天文發(fā)現(xiàn)在隋唐之交開始落實(shí)到歷法編算中，使唐代歷法中出現(xiàn)一些重要的數(shù)學(xué)成果。公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時(shí)，在世界上最早提出了等間距二次內(nèi)插公式，這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造，唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發(fā)展為不等間距二次內(nèi)插公式。

唐朝后期計(jì)算技術(shù)有了進(jìn)一步的改進(jìn)和普及，出現(xiàn)很多種實(shí)用算術(shù)書，對于乘除算法力求簡捷。

四、中國數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰

唐朝亡后五代十國仍是軍閥混戰(zhàn)的繼續(xù)，直到北宋王朝統(tǒng)一了中國，農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)迅速繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。從公元十一世紀(jì)到十四世紀(jì)﹝宋、元兩代﹞，籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛，是中國古代數(shù)學(xué)空前繁榮，碩果累累的全盛時(shí)期。這一時(shí)期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》﹝11世紀(jì)中葉﹞，劉益的《議古根源》﹝12世紀(jì)中葉﹞，秦九韶的《數(shù)書九章》﹝1247﹞，李冶的《測圓海鏡》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞，楊輝的《詳解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法》﹝1262﹞和《楊輝算法》﹝1274-1275﹞，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》﹝1299﹞和《四元玉鑒》﹝1303﹞等等。宋元數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)，也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的巔峰。其中主要的工作有：

公元1050年左右，北宋賈憲（生卒年代不詳）在《黃帝九章算法細(xì)草》中創(chuàng)造了開任意高次冪的“增乘開方法”，公元1819年英國人霍納（williamgeorgehorner）才得出同樣的方法。賈憲還列出了二項(xiàng)式定理系數(shù)表，歐洲到十七世紀(jì)才出現(xiàn)類似的“巴斯加三角”。（《黃帝九章算法細(xì)草》已佚）

公元1088—1095年間，北宋沈括從“酒家積罌”數(shù)與“層壇”體積等生產(chǎn)實(shí)踐問題提出了“隙積術(shù)”，開始對高階等差級數(shù)的求和進(jìn)行研究，并創(chuàng)立了正確的求和公式。沈括還提出“會圓術(shù)”，得出了我國古代數(shù)學(xué)史上第一個(gè)求弧長的近似公式。他還運(yùn)用運(yùn)籌思想分析和研究了后勤供與運(yùn)兵進(jìn)退的關(guān)系等問題。

公元1247年，南宋秦九韶在《數(shù)書九章》中推廣了增乘開方法，敘述了高次方程的數(shù)值解法，他列舉了二十多個(gè)來自實(shí)踐的高次方程的解法，最高為十次方程。歐洲到十六世紀(jì)意大利人菲爾洛（scipiodelferro）才提出三次方程的解法。秦九韶還系統(tǒng)地研究了一次同余式理論。

公元1248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《測圓海鏡》是第一部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”（一元高次方程）的著作，這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的成果。在《測圓海鏡?序》中，李冶批判了輕視科學(xué)實(shí)踐，以數(shù)學(xué)為“九九賤技”、“玩物喪志”等謬論。

公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類高階等差級數(shù)之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂《授時(shí)歷》時(shí)，列出了三次差的內(nèi)插公式。郭守敬還運(yùn)用幾何方法求出相當(dāng)于現(xiàn)在球面三角的兩個(gè)公式。

公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”（四元高次聯(lián)立方程）,并提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（etiennebezout）才提出同樣的解法。朱世杰還對各有限項(xiàng)級數(shù)求和問題進(jìn)行了研究，在此基礎(chǔ)上得出了高次差的內(nèi)插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（jamesgregory)和公元1676一1678年間牛頓（issacnewton）才提出內(nèi)插法的一般公式。

公元十四世紀(jì)我國人民已使用珠算盤。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，珠算盤是世界上簡便而有效的計(jì)算工具。

五、中國數(shù)學(xué)的衰落與日用數(shù)學(xué)的發(fā)展

這一時(shí)期指十四世紀(jì)中葉明王朝建立到明末的1582年。數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面，當(dāng)中涉及到中算的局限、十三世紀(jì)的考試制度中已刪減數(shù)學(xué)內(nèi)容、明代大興八段考試制度等復(fù)雜的問，不少中外數(shù)學(xué)史家仍探討當(dāng)中涉及的原因。

明代最大的成就是珠算的普及，出現(xiàn)了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》﹝1592﹞問世，珠算理論已成系統(tǒng)，標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。但由于珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳，數(shù)學(xué)出現(xiàn)長期停滯。

六、西方初等數(shù)學(xué)的傳入與中西合璧

十六世紀(jì)末開始，西方傳教士開始到中國活動，由于明清王朝制定天文歷法的需要，傳教士開始將與天文歷算有關(guān)的西方初等數(shù)學(xué)知識傳入中國，中國數(shù)學(xué)家在“西學(xué)中源”思想支配下，數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個(gè)中西融合貫通的局面。

十六世紀(jì)末西方傳教士和中國學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷﹝1607﹞，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應(yīng)用了《幾何原本》的邏輯推理方**證中國的勾股測望術(shù)。另外《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創(chuàng)，且沿用至今。在輸入的西方數(shù)學(xué)中僅次于幾何的是三角學(xué)。在此之前三角學(xué)只有零星的知識，而此后獲得迅速發(fā)展。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測》﹝2卷，1631﹞、《割圓八線表》﹝6卷﹞和羅雅谷的《測量全義》﹝10卷，1631﹞。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》﹝137卷，1629-1633﹞中，介紹了有關(guān)圓椎曲線的數(shù)學(xué)知識。

入清以后會通中西數(shù)學(xué)的杰出代表是梅文鼎，他堅(jiān)信中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)「必有精理」，對古代名著做了深入的研究，同時(shí)又能正確對待西方數(shù)學(xué)，使之在中國扎根，對清代中期數(shù)學(xué)研究的高潮是有積極影響的。與他同時(shí)代的數(shù)學(xué)家還有王錫闡和年希堯等人。清康熙帝愛好科學(xué)研究，他「御定」的《數(shù)理精蘊(yùn)》﹝53卷，1723﹞，是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)書，對當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究有一定影響。

七、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的整理與復(fù)興

乾嘉年間形成一個(gè)以考據(jù)學(xué)為主的干嘉學(xué)派，編成《四庫全書》，其中數(shù)學(xué)著作有《算經(jīng)十書》和宋元時(shí)期的著作，為保存瀕于湮沒的數(shù)學(xué)典籍做出重要貢獻(xiàn)。

在研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家還有發(fā)明創(chuàng)造，例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》﹝約1859﹞中得到三角自乘垛求和公式，現(xiàn)在稱之為「李善蘭恒等式」。這些工作較宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)進(jìn)了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》46卷﹝1795-1810﹞，開數(shù)學(xué)史研究之先河。

八、西方數(shù)學(xué)再次東進(jìn)

1840年鴉戰(zhàn)爭后，閉關(guān)鎖國政策被迫中止。同文館內(nèi)添設(shè)「算學(xué)」，上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館，由此開始第二次翻譯引進(jìn)的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷﹝1857﹞，使中國有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數(shù)學(xué)》13卷﹝1859﹞；《代微積拾級》18卷﹝1859﹞。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷，華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數(shù)術(shù)》25卷﹝1872﹞，《微積溯源》8卷﹝1874﹞，《決疑數(shù)學(xué)》10卷﹝1880﹞等。在這些譯著中，創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語，至今仍在應(yīng)用。1898年建立京師大學(xué)堂，同文館并入。1905年廢除科舉，建立西方式學(xué)校教育，使用的課本也與西方其它各國相仿。

九、中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的建立

這一時(shí)期是從20世紀(jì)初至今的一段時(shí)間，常以1949年新中國成立為標(biāo)志劃分為兩個(gè)階段。

中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開始于清末民初的留學(xué)活動。較早出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復(fù)和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時(shí)的熊慶來﹝1915年轉(zhuǎn)留法﹞，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數(shù)回國后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，為中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。其中胡明復(fù)1917年取得美國哈佛大學(xué)博士學(xué)位，成為第一位獲得博士學(xué)位的中國數(shù)學(xué)家。隨著留學(xué)人員的回國，各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育有了起色。最初只有北京大學(xué)1912年成立時(shí)建立的數(shù)學(xué)系，1920年姜立夫在天津南開大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學(xué)﹝今南京大學(xué)﹞和清華大學(xué)建立數(shù)學(xué)系，不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系，到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1930年熊慶來在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。三十年代出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵﹝1927﹞、陳省身﹝1934﹞、華羅庚﹝1936﹞、許寶騤﹝1936﹞等人，他們都成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。同時(shí)外國數(shù)學(xué)家也有來華講學(xué)的，例如英國的羅素﹝1920﹞，美國的伯克霍夫﹝1934﹞、奧斯古德﹝1934﹞、維納﹝1935﹞，法國的阿達(dá)馬﹝1936﹞等人。1935年中國數(shù)學(xué)會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年〈中國數(shù)學(xué)會學(xué)報(bào)〉和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問世，這些標(biāo)志著中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。解放以前的數(shù)學(xué)研究集中在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在國內(nèi)外共發(fā)表論著600余種。在分析學(xué)方面，陳建功的三角級數(shù)論，熊慶來的亞純函數(shù)與整函數(shù)論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數(shù)論與代數(shù)方面，華羅庚等人的解析數(shù)論、幾何數(shù)論和代數(shù)數(shù)論以及近世代數(shù)研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面，蘇步青的微分幾何學(xué)，江澤涵的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創(chuàng)性的工作：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面，許寶騤在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴(yán)密證明。另外李儼和錢寶琮開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產(chǎn)重放光彩。

1949年11月即成立中國科學(xué)院。1951年3月《中國數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》復(fù)刊﹝1952年改為《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》﹞，1951年10月《中國數(shù)學(xué)雜志》復(fù)刊﹝1953年改為《數(shù)學(xué)通報(bào)》﹞。1951年8月中國數(shù)學(xué)會召開建國后第一次國代表大會，討論了數(shù)學(xué)發(fā)展方向和各類學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)改革問題。

建國后的數(shù)學(xué)研究取得長足進(jìn)步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素?cái)?shù)論》﹝1953﹞、蘇步青的《射影曲線概論》﹝1954﹞、陳建功的《直角函數(shù)級數(shù)的和》﹝1954﹞和李儼的《中算史論叢》5集﹝1954-1955﹞等專著，到1966年，共發(fā)表各種數(shù)學(xué)論文約2萬余篇。除了在數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)?、函?shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)史等學(xué)科繼續(xù)取得新成果外，還在微分方程、計(jì)算技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等分支有所突破，有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平，同時(shí)培養(yǎng)和成長起一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。