判斷線性相關(guān)的三種方法

發(fā)布時(shí)間：2025-10-17 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

判斷線性相關(guān)的三種方法如下：

第一種從定義出發(fā)尋找一組非零常數(shù)。

第二種求常數(shù)項(xiàng)的秩或者行列式。

第三種尋找向量的個(gè)數(shù)是多少，如果多數(shù)向量可以由少數(shù)向量線性表示那么多數(shù)向量一定是線性相關(guān)。

設(shè)A為a1(1,0,6,a1),a2(1,-1,2,a2),a3(2,0,7,a3),a4(0,0,0,a4)。判斷哪些向量一定是線性相關(guān)的，并且a1,a2,a3,a4是任意常數(shù)。a2,a3,a4秩的確定跟a的取值有關(guān)系，首先一行以及2,3，一定是線性相關(guān)。a1,a2,a3,a4一定是線性無關(guān)的無論a取任何值，秩一定是3的。

考察極大線性無關(guān)組的定義，定義里說存在r個(gè)向量使得線性無關(guān)但是再加進(jìn)去任何一個(gè)向量就變成線性相關(guān)的了。這里確定的是加入任何一個(gè)向量一定是線性相關(guān)的，但是這r個(gè)向量卻不一定是線性無關(guān)的。

線性無關(guān)的定義，對(duì)于所有的向量其前面的所有的常數(shù)都是0向量組才等于0向量那么這個(gè)向量組是線性無關(guān)的。換一句話就是只要存在一個(gè)常數(shù)不是0那么這個(gè)向量組一定不是線性相關(guān)或者說是方程一定不是齊次的。

已知一個(gè)矩陣以及增廣矩陣去證明b向量可以由A向量組線性表示，那么首先確定的就是A的秩假設(shè)為r那么加進(jìn)去以后秩還是一樣可以得到一個(gè)十字r(a1,a2,a3...at)=r(a1,a2,a3...at,b)容易發(fā)現(xiàn)其實(shí)就是線性表示的等價(jià)。

從極大線性無關(guān)組出發(fā)假設(shè)A的極大線性無關(guān)組是a1...ar，那么增廣矩陣的秩等于A的秩也就是說增廣矩陣是線性相關(guān)的。根據(jù)定義一個(gè)向量組線性無關(guān)填進(jìn)去任何一個(gè)向量就變成線性相關(guān)的那么這個(gè)新填進(jìn)去的一定是可以被線性表示的，并且表示方法是唯一的。