變分法基本原理

發(fā)布時間：2025-10-18 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

根據(jù)科內(nèi)利烏斯·蘭佐斯的說法，任何可以用變分原理來表達的物理定律描述一種自伴的表示。這種表示也被說成是厄米的，描述了在厄米變換下的不變量菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領(lǐng)試圖鑒識這類在一組變換下的不變量。在物理學(xué)的諾特定理中，一組變換的龐加萊群（廣義相對論中被稱為規(guī)范群）定義了在一組依賴于變分原理的變換下的對稱性，即作用原理 。

變分法是討論泛函極值的工具，所謂泛函，是指函數(shù)的定義域是一個無限維的空間，即曲線空間。在歐氏平面中，曲線的長的函數(shù)是泛函的一個重要的例子。一般來說泛函就是曲面空間到實數(shù)集的任意一個映射。

函數(shù)的微分定義式為f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(x);那么泛函的微分有類似的定義：Φ(γ+h)-Φ(γ)=F+R,此處F為h的函數(shù)，R=o(h^2).注意，這里和微分不同的是h不一定是無窮小量。設(shè)有一個體系，其中能量的有關(guān)條件已知，換句話說，已經(jīng)知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛定諤方程來找出波函數(shù)，可以任意猜測一個歸一化的波函數(shù)，比如說φ，結(jié)果是根據(jù)猜測的波函數(shù)得到的哈密頓算符的期望值將會高于實際的基態(tài)能量。變分原理是變分法的基本原理，用于量子力學(xué)和量子化學(xué)來近似求解體系基態(tài)。