羅爾定理的幾何意義是什么

發(fā)布時(shí)間：2025-10-24 | 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

一：羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)（其中a不等于b）；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，

　　那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0.

　　羅爾定理是以法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾的名字命名的。

幾何意義

　　羅爾定理的三個(gè)已知條件的幾何意義是：f(x)在[a,b]上連續(xù)表明曲線連同端點(diǎn)在內(nèi)是無(wú)縫隙的曲線；f(x)在內(nèi)(a,b)可導(dǎo)表明曲線y=f(x)在每一點(diǎn)處有切線存在；f(a)=f(b)表明曲線的割線（直線AB）平行于x軸.羅爾定理的結(jié)論的直觀意義是：在(a,b)內(nèi)至少能找到一點(diǎn)ξ，使f'(ξ)=0，表明曲線上至少有一點(diǎn)的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，也就平行于x軸.

二：羅爾定理可以直觀的理解為，如果一個(gè)可導(dǎo)的函數(shù)，兩個(gè)端點(diǎn)值是一樣的話，那肯定有個(gè)中間值是導(dǎo)數(shù)為0的。直觀理解就是函數(shù)圖像要先上升（下降）再下降（上升）回到原來(lái)的值，那中間有個(gè)地方肯定是比較平坦（不是很嚴(yán)格，直觀想象）的。拉格朗日是兩個(gè)端點(diǎn)值不一樣，中間有個(gè)值能達(dá)到。證明的思想是構(gòu)造函數(shù)，把斜的化成平的（直觀想象）。

三：羅爾中值定理:

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，如果

（1）函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

（3）函數(shù)f(x)在區(qū)間兩端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)

則在（a，b）內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)a<?ξ<b，使得f＇?(ξ?)=0.

羅爾定理的幾何解釋:

當(dāng)曲線方程滿足羅爾定理的要求時(shí)，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得該點(diǎn)的切線的斜率為零，換句話說(shuō)，該點(diǎn)的切線平行于x軸.

[例題]不用求出函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明方程f?(x)=0有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間。

解：由于函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上連續(xù)、可導(dǎo)，并且f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0，分別在區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)內(nèi)應(yīng)用羅爾定理，可得方程f?(x)=0至少有4個(gè)實(shí)根，但由于f?(x)是一個(gè)4次多項(xiàng)式，至多有4個(gè)實(shí)根，因此方程f?(x)=0只有4個(gè)實(shí)根，并且分別位于區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)內(nèi)。