橢圓性質(zhì)及其推導(dǎo)

發(fā)布時間：2025-10-29 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

橢圓是一個平面上的一個點F到兩個定點A和B的距離之和等于常數(shù)2a的所有點P的軌跡，且F在AB中點O上方。其數(shù)學(xué)表達式為：$ frac{(x-x_0)^2}{a^2} + frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $，其中$(x_0,y_0)$是橢圓的中心，$a$和$b$分別是橢圓在$x$軸和$y$軸上的半軸長。

下面是橢圓的一些性質(zhì)及其推導(dǎo)：

1. 橢圓任意兩點間線段長度之和等于常數(shù)

證明：任取一點P及其對稱點P'關(guān)于中心，則由對稱性可得PP'=2a。又因為PA+AP'=PB+BP'=2a，所以PA+PB=PP'/2+PB=2a，同理可證PB+PC=2a，所以PA+PB+PC=4a

2. 橢圓離心率公式

通過定義式可以得到$frac{c}{a}=sqrt{1-frac{b^2}{a^2}}$,進一步化簡有$epsilon=sqrt{1-frac{b^2}{a^2}}$

3. 橢圓焦距公式

從定義式出發(fā)可得：$PF_1+PF_2= 2(a-bar{x})$

根據(jù)中點公式，可知$bar{x}=frac{x1+x2}{2}$,同時有$F_1(-c,0), F_2(c,0)$，代入可得：

$PF_1=sqrt{(x+c)^2+y^2}, PF_2=sqrt{(x-c)^2+y^2} $，將兩個焦距公式帶回原式中，化簡以后可以得到：$c=sqrt{a^2-b^2}$。

4. 橢圓的切線方程

以橢圓上某點P為起始點的切線斜率為k，則該點橫縱坐標(biāo)分別為$x_0,y_0$，則有：$-frac{b^2}{a^2}cdot frac{y-y_0}{x-x_0}$

將其與橢圓方程聯(lián)立消元即可。

5. 橢圓離心率與幾何性質(zhì)

離心率越小橢圓越扁平；離心率等于1時，橢圓變成了一個拋物線；大于1時，橢圓變成了雙曲線。