高等數(shù)學(xué)中幾種求極限的方法

發(fā)布時(shí)間：2025-11-02 | 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

　　極限是微積分中的一條主線，是學(xué)好微積分的重要前提條件。而此問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)比較困難，要根據(jù)具體情況進(jìn)行具體分析和處理，方法很多比較凌亂。以下是我搜索整理的高等數(shù)學(xué)中幾種求極限的方法，供參考借鑒！

　　一、由定義求極限

　　極限的本質(zhì)――既是無(wú)限的過(guò)程，又有確定的結(jié)果。一方面可從函數(shù)的變化過(guò)程的趨勢(shì)抽象得出結(jié)論，另一方面又可從數(shù)學(xué)本身的邏輯體系下驗(yàn)證其結(jié)果。

　　但是并不是每一道求極限的題我們都能通過(guò)直觀觀察總結(jié)出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復(fù)雜的題。

　　二、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

　　此方法簡(jiǎn)單易行但不適合于f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是不連續(xù)的函數(shù)，及f(x)在x0處無(wú)定義的情況。

　　三、利用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧求極限

　　極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的，因此利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿(mǎn)足極限四則運(yùn)算法則條件。滿(mǎn)足條件者方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之，不滿(mǎn)足條件者，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是并非不滿(mǎn)足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒(méi)有極限，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些簡(jiǎn)單技巧如拆項(xiàng)，分子分母同乘某一因子，變量替換，分子分母有理化等等。

　　四、利用兩邊夾定理求極限

　　定理如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A

　　兩邊夾定理應(yīng)用的關(guān)鍵：適當(dāng)選取兩邊的函數(shù)(或數(shù)列)，并且使其極限為同一值。

　　注意：在運(yùn)用兩邊夾定理求極限時(shí)要保證所求函數(shù)(或數(shù)列)通過(guò)放縮后所得的.兩邊的函數(shù)(或數(shù)列)的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。

　　五、利用單調(diào)有界原理求極限

　　單調(diào)有界準(zhǔn)則即單調(diào)有界數(shù)列必定存在極限。使用單調(diào)有界準(zhǔn)則時(shí)需證明兩個(gè)問(wèn)題：一是數(shù)列的單調(diào)性，二是數(shù)列的有界性;求極限時(shí)，在等式的兩邊同時(shí)取極限，通過(guò)解方程求出合理的極限值。

　　利用單調(diào)有界原理求極限有兩個(gè)難點(diǎn)：一是證明數(shù)列的單調(diào)性，二是證明數(shù)列的有界性，在證明數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的有界性時(shí)，我們通常都采用數(shù)學(xué)歸納法。

　　六、利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限

　　在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中利用等價(jià)無(wú)窮小代換法或與其它方法相結(jié)合，不失為一種行之有效的方法，但并非計(jì)算過(guò)程中所有的無(wú)窮小量都能用其等價(jià)的無(wú)窮小量來(lái)進(jìn)行計(jì)算。用等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。于是用等價(jià)無(wú)窮小代換的問(wèn)題便集中到對(duì)于分子、分母中的加減法因子如何進(jìn)行x的等價(jià)無(wú)窮小代換這一點(diǎn)上，在利用等價(jià)無(wú)窮小代換的方法求極限時(shí)必須把分子(或分母)看作一個(gè)整體，用整個(gè)分子(或分母)的等價(jià)無(wú)窮小去代換。

　　七、利用泰勒展式求極限

　　運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計(jì)算量，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。但一般說(shuō)來(lái)這種方法僅限于求兩個(gè)無(wú)窮小量是乘或除的極限，而對(duì)兩個(gè)無(wú)窮小量非乘或非除的極限，對(duì)于一些未能確定函數(shù)極限形態(tài)的關(guān)系式，不能用洛必達(dá)法則及等價(jià)無(wú)窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。

　　八、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限

　　求極限的方法有很多種，在解題時(shí)，這些方法并不是孤立的，常常一個(gè)問(wèn)題需要用到幾種方法。根據(jù)題目給出的條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ńY(jié)合使用，能使運(yùn)算更簡(jiǎn)捷，起到事半功倍的效果。同時(shí)又能加強(qiáng)對(duì)微積分知識(shí)整體上的深層次認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)好微積分是大有裨益的。

　　分?jǐn)?shù)求極限的方法

　　1、分式中，分子分母同除以最高次，化無(wú)窮大為無(wú)窮小計(jì)算，無(wú)窮小直接以0代入；

　　2、無(wú)窮大根式減去無(wú)窮大根式時(shí)，分子有理化，然后運(yùn)用(1)中的方法；

　　3、運(yùn)用兩個(gè)特別極限；

　　4、運(yùn)用洛必達(dá)法則，但是洛必達(dá)法則的運(yùn)用條件是化成無(wú)窮大比無(wú)窮大，或無(wú)窮小比無(wú)窮小，分子分母還必須是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。它不是所向無(wú)敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過(guò)其實(shí)。

　　5、用Mclaurin(麥克勞琳)級(jí)數(shù)展開(kāi)，而國(guó)內(nèi)普遍誤譯為T(mén)aylor(泰勒)展開(kāi)。

　　6、等階無(wú)窮小代換，這種方法在國(guó)內(nèi)甚囂塵上，國(guó)外比較冷靜。因?yàn)橐灰辣?，不是值得推廣的教學(xué)法；二是經(jīng)常會(huì)出錯(cuò)，要特別小心。

　　7、夾擠法。這不是普遍方法，因?yàn)椴豢赡芊糯?、縮小后的結(jié)果都一樣。

　　8、特殊情況下，化為積分計(jì)算。

　　9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。