偏導(dǎo)數(shù)的表示方法

發(fā)布時間：2025-11-04 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

偏導(dǎo)數(shù)：表示固定面上一點的切線斜率。

偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)表示固定面上一點對x軸的切線斜率；偏導(dǎo)數(shù)f'y(x0,y0)表示固定面上一點對y軸的切線斜率。

高階偏導(dǎo)數(shù)：如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)與f'y(x,y)仍然可導(dǎo)，那么這兩個偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個：fxx，fxy，fyx，fyy。

fxy與fyx的區(qū)別在于：前者是先對x求偏導(dǎo)，然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對y求偏導(dǎo)；后者是先對y求偏導(dǎo)再對x求偏導(dǎo)。當(dāng)fxy與fyx都連續(xù)時，求導(dǎo)的結(jié)果與先后次序無關(guān)。

偏導(dǎo)數(shù)（函數(shù)的變化率）

在數(shù)學(xué)中一個多變量的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，就是它關(guān)于其中一個變量的導(dǎo)數(shù)而保持其他變量恒定（相對于全導(dǎo)數(shù)，在其中所有變量都允許變化）。偏導(dǎo)數(shù)在向量分析和微分幾何中是很有用的。

引入

在一元函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率。對于二元函數(shù)研究它的“變化率”，由于自變量多了一個，情況就要復(fù)雜的多。在xOy平面內(nèi)，當(dāng)動點由P(x0,y0)沿不同方向變化時，函數(shù)f(x,y)的變化快慢一般來說是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。

在這里我們只學(xué)習(xí)函數(shù)f(x,y)沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時，f(x,y)的變化率。偏導(dǎo)數(shù)的表示符號為：?。偏導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)沿坐標(biāo)軸正方向的變化率。

定義（x方向的偏導(dǎo)）

設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(x0,y0)是其定義域D內(nèi)一點。把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應(yīng)地函數(shù)z=f(x,y)有增量（稱為對x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果△z與△x之比當(dāng)△x→0時的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作f'x(x0,y0)或。函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，實際上就是把y固定在y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,y0)在x0處的導(dǎo)數(shù)。

y方向的偏導(dǎo)

同樣把x固定在x0，讓y有增量△y，如果極限存在那么此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)。記作f'y(x0,y0)。