輪換對(duì)稱式的使用條件

發(fā)布時(shí)間：2025-11-05 | 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

輪換對(duì)稱性使用條件：只要積分區(qū)域關(guān)于y=x對(duì)稱就可以使用輪換對(duì)稱性，使用輪換對(duì)稱性的目的是簡(jiǎn)化計(jì)算，通?？梢耘浜蠘O坐標(biāo)使用。

1積分輪換對(duì)稱性特點(diǎn)及規(guī)律

(1)對(duì)于曲面積分，積分曲面為u(x,y,z)=0，如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是積分曲面的方程沒(méi)有變，那么在這個(gè)曲面上的積分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在這個(gè)曲面上的積分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在這個(gè)曲面上的積分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS，同樣可以進(jìn)行多種其它的變換。

(2)對(duì)于第二類曲面積分只是將dxdy也同時(shí)變換即可，比如：如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在這個(gè)曲面上的積分∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx,∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。

(3)將(1)中積分曲面中的z去掉，就變成了曲線積分滿足的輪換對(duì)稱性:積分曲線為u(x,y)=0，如果將函數(shù)u(x,y)=0中的x,y換成y,x后，仍滿足u(y,x)=0，那么在這個(gè)曲線上的積分∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds；實(shí)際上如果將函數(shù)u(x,y)=0中的x,y換成y,x后，仍滿足u(y,x)=0，則意味著積分曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱。第二類三維空間的曲線積分跟（2）總結(jié)相同同。但第二類平面上的曲線積分不同∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy.(注意前面多了一個(gè)負(fù)號(hào)）

(4)二重積分和三重積分都和(1)的解釋類似，也是看積分域函數(shù)將x,y,z更換順序后，相當(dāng)于將坐標(biāo)軸重新命名，積分區(qū)間沒(méi)有發(fā)生變化，則被積函數(shù)作相應(yīng)變換后，積分值不變。

2利用輪換對(duì)稱性求最值

在高考或競(jìng)賽的選擇、填空題中，常會(huì)遇到一類求最值詞題，這類問(wèn)題的特征是條件式與待求式都是輪換對(duì)稱式即所給式中的字母x、y、z能依次輪換，相互代替，而結(jié)果不變，則關(guān)于x、y、z的代數(shù)式的最大(小)值，一定是在x＝y(tǒng)＝z＝時(shí)的值。運(yùn)用此性質(zhì)能有效、迅速求解此類題，從而得寶貴的時(shí)間。