數(shù)學(xué)符號(hào)中的小e什么含義

發(fā)布時(shí)間：2025-11-06 | 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

e在科學(xué)技術(shù)中用得非常多，一般不使用以10為底數(shù)的對(duì)數(shù)。以e為底數(shù)，許多式子都能得到簡(jiǎn)化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對(duì)數(shù)”。

我們可以從自然對(duì)數(shù)最早是怎么來(lái)的來(lái)說(shuō)明其有多“自然”。以前人們做乘法就用乘法，很麻煩，發(fā)明了對(duì)數(shù)這個(gè)工具后，乘法可以化成加法，即：

log(a*b)=loga+logb

但是能夠這么做的前提是，我要有一張對(duì)數(shù)表，能夠知道loga和logb是多少，然后求和，能夠知道log多少等于這個(gè)和。雖然編對(duì)數(shù)表很麻煩，但是編好了就是一勞永逸的事情，因此有個(gè)大數(shù)學(xué)家開(kāi)始編對(duì)數(shù)表。但他遇到了一個(gè)麻煩，就是這個(gè)對(duì)數(shù)表取多少作為底數(shù)最合適？10嗎？或是2？為了決定這個(gè)底數(shù)，他做了如下考慮：

1.所有乘數(shù)/被乘數(shù)都可以化到0.1-1之內(nèi)的數(shù)乘以一個(gè)10的幾次方，這個(gè)用科學(xué)記數(shù)法就行了。

2.那么現(xiàn)在只考慮做一個(gè)0-1之間的數(shù)的對(duì)數(shù)表了，那么我們自然用一個(gè)0-1之間的數(shù)做底數(shù)。（如果用大于1的數(shù)做底數(shù)，那么取完對(duì)數(shù)就是負(fù)數(shù)，不好看；）

3.這個(gè)0-1間的底數(shù)不能太小，比如0.1就太小了，這會(huì)導(dǎo)致很多數(shù)的對(duì)數(shù)都是零點(diǎn)幾；而且“相差很大的兩個(gè)數(shù)之的對(duì)數(shù)值卻相差很小”，比如0.1做底數(shù)時(shí)，兩個(gè)數(shù)相差10倍時(shí)，對(duì)數(shù)值才相差1.換句話(huà)說(shuō)，像0.5和0.55這種相差不大的數(shù)，如果用0.1做底數(shù)，那么必須把對(duì)數(shù)表做到精確到小數(shù)點(diǎn)以后很多位才能看出他們對(duì)數(shù)的差別。

4.為了避免這種缺點(diǎn)，底數(shù)一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了?？傮w而言就是1-1/X，X越大越好。在選了一個(gè)足夠大的X（X越大，對(duì)數(shù)表越精確，但是算出這個(gè)對(duì)數(shù)表就越復(fù)雜）后，你就可以算（1-1/X）^1=p1,

（1-1/X）^2=p2,

……

那么對(duì)數(shù)表上就可以寫(xiě)上P1的對(duì)數(shù)值是1，P2的對(duì)數(shù)值是2……（以1-1/X作為底數(shù)）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……間都靠得很緊，基本可以滿(mǎn)足均勻地覆蓋了0.1-1之間的區(qū)間。

5.最后他再調(diào)整了一下，用（1-1/X）^X作為底，這樣P1的對(duì)數(shù)值就是P1/X，P2的對(duì)數(shù)值就是P2/X，……PX的對(duì)數(shù)值就是1，這樣不至于讓一些對(duì)數(shù)值變得太大，比如若X=10000,有些數(shù)的對(duì)數(shù)值就要到幾萬(wàn)，這樣調(diào)整之后，各個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)值基本在0-幾之間。兩個(gè)值之間最小的差為1/X。

6.現(xiàn)在讓對(duì)數(shù)表更精確，那么X就要更大，數(shù)學(xué)家算了很多次，1000，1萬(wàn)，十萬(wàn)，最后他發(fā)現(xiàn)，X變大時(shí)，這個(gè)底數(shù)（1-1/X）^X趨近于一個(gè)值。這個(gè)值就是1/e，自然對(duì)數(shù)底的倒數(shù)（雖然那個(gè)時(shí)候還沒(méi)有給它取名字）。其實(shí)如果我們第一步不是把所有值放縮到0.1-1之間，而是放縮到1-10之間，那么同樣的討論，最后的出來(lái)的結(jié)果就是e了。

當(dāng)然后來(lái)數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)數(shù)做了無(wú)數(shù)研究，發(fā)現(xiàn)其各種神奇之處，出現(xiàn)在對(duì)數(shù)表中并非偶然，而是相當(dāng)自然或必然的。因此就叫它自然對(duì)數(shù)底了。