羅爾定理是什么

發(fā)布時間：2025-11-12 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

羅爾定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。幾何意義為若連續(xù)曲線y=f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上所對應(yīng)的弧段 AB，除端點外處處具有不垂直于 x 軸的切線，且在弧的兩個端點 A,B 處的縱坐標(biāo)相等，則在弧AB上至少有一點C，使曲線在C點處的切線平行于x軸。

羅爾定理描述如下：如果R上的函數(shù) f(x) 滿足以下條件：

（1）在閉區(qū)間 [a,b] 上連續(xù)，（2）在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個(a,b)，使得 f'()=0。

證明過程為：證明：因為函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

1. 若 M=m，則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。

2. 若 M>

m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內(nèi)某點處取得，從而是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)得，f(x) 在處取得極值，由費馬引理，可導(dǎo)的極值點一定是駐點，推知：f'()=0。另證：若 M>

m ，不妨設(shè)f()=M，(a,b)，由可導(dǎo)條件知，f'(+)