什么是一階線性微分方程

發(fā)布時(shí)間：2025-11-14 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

一階線性微分方程是形如y'+P（x）y=Q（x）的微分方程。

其中Q（x）稱為自由項(xiàng)。一階指的是方程中關(guān)于Y的導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)。線性指的是方程簡化后的每一項(xiàng)關(guān)于y、y'的指數(shù)為1。一階線性微分方程的求解一般采用常數(shù)變易法，通過常數(shù)變易法，可求出一階線性微分方程的通解。

實(shí)際上公式：y'＋Py＝Q之通解為y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一個(gè)不定積分都要算出具體的原函數(shù)且不再加C。

而本題∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因?yàn)橛谐橄蠛瘮?shù)f（x）無法算出具體的原函數(shù)，所以要用不定積分與變限積分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C（所以每個(gè)題都可寫上下限。

本題用此公式取上式的a＝0，C換為C1，（當(dāng)然被積函數(shù)也要換成本題的被積函數(shù)），代入公式后C1＋C換為C2再換為C。這樣才能代入初始條件y（0）＝0，求出C。