求100道初一上學(xué)期數(shù)學(xué)難題（帶答案）

發(fā)布時間：2025-11-30 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

你是什么教材

如果可以我?guī)湍?/p>

初一奧數(shù)練習(xí)題一

甲多開支100元，三年后負債600元．求每人每年收入多少？

S的末四位數(shù)字的和是多少？

4．一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程．

5．求和：

6．證明：質(zhì)數(shù)p除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù)．

8．若兩個整數(shù)x，y使x2+xy+y2能被9整除，證明：x和y能被3整除．

9．如圖1－95所示．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD的中點為M，N，MN的延長線與AB邊交于P點．求證：△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半．

解答：

　　所以　　　　x=5000(元)．

　　所以S的末四位數(shù)字的和為1＋9＋9＋5=24．

3．因為

　　　a-b≥0，即a≥b．即當(dāng)b

≥a＞0或b≤a＜0時，等式成立．

4．設(shè)上坡路程為x千米，下坡路程為y千米．依題意則

有

由②有2x+y=20，　　　　　　　　?、?/p>

　　由①有y=12-x．將之代入③得2x+12-x=20．

　　所以　　　　x=8(千米)，于是y=4(千米)．

　5．第n項為

　　所以

　　6．設(shè)p=30q＋r，0≤r＜30．因為p為質(zhì)數(shù)，故r≠0，即0＜r＜30．假設(shè)r為合數(shù)，由于r＜30，所以r的最小質(zhì)約數(shù)只可能為2，3，5．再由p=30q＋r知，當(dāng)r的最小質(zhì)約數(shù)為2，3，5時，p不是質(zhì)數(shù)，矛盾．所以r一定不是合數(shù)．

　　7．設(shè)

　　由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即

(4-m)pq+1=2(p+q)．

　　可知m＜4．由①，m＞0，且為整數(shù)，所以m=1，2，3．下面分別研究p，q．

　　(1)若m=1時，有

　　解得p=1，q=1，與已知不符，舍去．

　　(2)若m=2時，有

　　因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解．

　　(3)若m=3時，有

　　解之得

　　故　　　　　　　　　　　　　　　　　p＋q=8．

　　8．因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由題設(shè)，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，從而3｜(x-y)2．因為3是質(zhì)數(shù)，故3｜(x-y)．進而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，結(jié)合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．

　　9．連結(jié)AN，CN，如圖1－103所示．因為N是BD的中點，所以

　　上述兩式相加

　　另一方面，

S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．

　　因此只需證明

S△AND＝S△CNP＋S△DNP．

　　由于M，N分別為AC，BD的中點，所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN

　　=S△APM-S△AMN

　=S△ANP．

　　又S△DNP=S△BNP，所以

S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．

初一奧數(shù)練習(xí)題二

1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．

2．某商店出售的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現(xiàn)在他們采用提高售價、減少進貨量的辦法增加利潤，根據(jù)經(jīng)驗，這種商品每漲價1元，每天就少賣出10件．試問將每件商品提價多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？

3．如圖1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求證：DA⊥AB．

4．已知方程組

的解應(yīng)為

一個學(xué)生解題時把c抄錯了，因此得到的解為

求a2＋b2＋c2的值．

5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整數(shù)解．

6．王平買了年利率7.11％的三年期和年利率為7.86％的五年期國庫券共35000元，若三年期國庫券到期后，把本息再連續(xù)存兩個一年期的定期儲蓄，五年后與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？(一年期定期儲蓄年利率為5.22％)

7．對k，m的哪些值，方程組至少有一組解？

8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整數(shù)解．

9．小王用5元錢買40個水果招待五位朋友．水果有蘋果、梨子和杏子三種，每個的價格分別為20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到蘋果，并且各人得到的蘋果數(shù)目互不相同，試問他能否實現(xiàn)自己的愿望？

解答：

1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000=2x×1＋3×1-2x+2000=2003．

2．原來每天可獲利4×100元，若每件提價x元，則每件商品獲利(4＋x)元，但每天賣出為(100-10x)件．如果設(shè)每天獲利為y元，則

y＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．

所以當(dāng)x=3時，y最大=490元，即每件提價3元，每天獲利最大，為490元．

3．因為CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(圖1－104)，所以

∠ADC＋∠BCD=180°，

　　所以　　AD∥BC．①　　又因為　AB⊥BC，②

　　由①，②AB⊥AD．

4．依題意有

　　所以　a2+b2+c2=34．

5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，

　　所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．

　　因為｜x｜＋1＞0，且x，y都是整數(shù)，所以

　所以有

6．設(shè)王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則

　　因為　y=35000-x，

　　所以x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，

　　所以1.3433x＋48755-1.393x=47761，

　　所以0.0497x=994，

　　所以x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．

7．因為(k－1)x＝m-4，①

m為一切實數(shù)時，方程組有唯一解．當(dāng)k=1，m=4時，①的解為一切實數(shù)，所以方程組有無窮多組解．

當(dāng)k=1，m≠4時，①無解．

　　所以k≠1，m為任何實數(shù)，或k=1，m=4時，方程組至少有一組解．

8．由題設(shè)方程得

z＝3m-y．

x=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m．

原方程的通解為　　其中n，m取任意整數(shù)值．

9．設(shè)蘋果、梨子、杏子分別買了x，y，z個，則

　　消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．

　　代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．

x=20，y=8，z=12．

因此小王的愿望不能實現(xiàn)，因為按他的要求，蘋果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20個．

初一奧數(shù)練習(xí)題三

1．解關(guān)于x的方程

2．解方程

其中a＋b＋c≠0．

3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展開式中各項系數(shù)之和．

4．液態(tài)農(nóng)藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時農(nóng)藥的濃度為72％，求桶的容量．

5．滿足[-1.77x]=-2x的自然數(shù)x共有幾個？這里[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[-5.6]=-6，[3]=3．

6．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點．求：P到△ABC三頂點的距離和與三角形周長之比的取值范圍．

7．甲乙兩人同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多行24千米，甲經(jīng)過9小時到東站，乙經(jīng)過16小時到西站，求兩站距離．

8．黑板上寫著三個數(shù)，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數(shù)的和減1，這樣繼續(xù)下去，最后得到19，1997，1999，問原來的三個數(shù)能否是2，2，2？

9．設(shè)有n個實數(shù)x1，x2，…，xn，其中每一個不是+1就是-1，且

求證：n是4的倍數(shù)．

解答：

1．化簡得6(a-1)x=3-6b+4ab，當(dāng)a≠1時，

2．將原方程變形為

　　由此可解得x=a＋b+c．

3．當(dāng)x=1時，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展開式中各項系數(shù)之和為1．

依題意得

　　去分母、化簡得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，

　　5．若n為整數(shù)，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．

　　由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，　　所以[0.23x]=0．

　　又因為x為自然數(shù)，所以0≤0.23x＜1，經(jīng)試驗，可知x可取1，2，3，4，共4個．

　　6．如圖1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①

　　延長BP交AC于D．易證PB＋PC＜AB＋AC．②

　　由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③

　　同理AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④

AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤

　　③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．

所以

7．設(shè)甲步行速度為x千米/小時，乙步行速度為y千米/小時，則所求距離為(9x+16y)千

米．依題意得

由①得16y2=9x2，③

　　由②得16y=24＋9x，將之代入③得

　　即(24＋9x)2=(12x)2．解之得

　　于是

　　所以兩站距離為9×8＋16×6=168(千米)．

　　8．答案是否定的．對于2，2，2，首先變?yōu)?，2，3，其中兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)．以后無論改變多少次，總是兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)(數(shù)值可以改變，但奇偶性不變)，所以不可能變?yōu)?9，1997，1999這三個奇數(shù)．

　　　。

　　又因為

　　所以k是偶數(shù)，從而n是4的倍數(shù)．

初一奧數(shù)練習(xí)題四

1．已知a，b，c，d都是正數(shù)，并且a＋d＜a，c＋d＜b．

求證：ac＋bd＜ab．

2．已知甲種商品的原價是乙種商品原價的1.5倍．因市場變化，乙種商品提價的百分數(shù)是甲種商品降價的百分數(shù)的2倍．調(diào)價后，甲乙兩種商品單價之和比原單價之和提高了2％，求乙種商品提價的百分數(shù)．

3．在銳角三角形ABC中，三個內(nèi)角都是質(zhì)數(shù)．求三角形的三個內(nèi)角．

4．某工廠三年計劃中，每年產(chǎn)量遞增相同，若第三年比原計劃多生產(chǎn)1000臺，那么每年比上一年增長的百分數(shù)就相同，而且第三年的產(chǎn)量恰為原計劃三年總產(chǎn)量的一半，求原計劃每年各生產(chǎn)多少臺？

　　　z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，

求z的最大值與最小值．

8．從1到500的自然數(shù)中，有多少個數(shù)出現(xiàn)1或5？

9．從19，20，21，…，98這80個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使它們的和為偶數(shù)的選法有多少種？

解答：

　　1．由對稱性，不妨設(shè)b≤a，則ac＋bd≤ac＋ad=a(c＋d)＜ab．

　　2．設(shè)乙種商品原單價為x元，則甲種商品的原單價為1.5x元．設(shè)甲商品降價y％，則乙商品提價2y％．依題意有1.5x(1-y％)+x(1＋2y％)=(1.5x＋x)(1＋2％)，

　　化簡得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02．　　所以y=0.1=10％，

　　所以甲種商品降價10％，乙種商品提價20％．

　　3．因為∠A+∠B＋∠C=180°，所以∠A，∠B，∠C中必有偶數(shù)．唯一的偶質(zhì)數(shù)為2，所以∠C=2°．所以∠A+∠B=178°．由于需∠A，∠B為奇質(zhì)數(shù)，這樣的解不唯一，如

　　4．設(shè)每年增產(chǎn)d千臺，則這三年的每一年計劃的千臺數(shù)分別為a-d，a，a＋d依題意有

　　解之得

　　所以三年產(chǎn)量分別是4千臺、6千臺、8千臺．

不等式組：

　　所以x＞2；

　　　　　　　　　　　　　　無解．

6．設(shè)原式為S，則

　　所以

又

　　　　　　　　＜0.112-0.001=0.111．

　　因為　　　　　　

所以=0.105．

　　7．由｜x｜≤1，｜y｜≤1得-1≤x≤1，-1≤y≤1．

　　所以y＋1≥0，x-2y+4≥-1-2×1+4=1＞0．

　　所以z=｜x+y｜+(y+1)+(x-2y+4)=｜x+y｜＋x-y＋5．

　　(1)當(dāng)x+y+≤0時，z=-(x+y)＋x-y+5=5-2y．

　　由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7，所以這時，z的最小值為3、最大值為7．

　　(2)當(dāng)x+y＞0時，z=(x＋y)+(x-y+5)=2x+5．

　　由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7，所以這時z的最小值為3、最大值為7．

　　由(1)，(2)知，z的最小值為3，最大值為7．

　　8．百位上數(shù)字只是1的數(shù)有100，101，…，199共100個數(shù)；十位上數(shù)字是1或5的(其百位上不為1)有2×3×10=60(個)．個位上出現(xiàn)1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有2×3×8=48(個)．再加上500這個數(shù)，所以滿足題意的數(shù)共有

100+60+48+1=209(個)．

　　9．從19到98共計80個不同的整數(shù)，其中有40個奇數(shù)，40個偶數(shù)．第一個數(shù)可以任選，有80種選法．第一個數(shù)如果是偶數(shù)，第二個數(shù)只能在其他的39個偶數(shù)中選取，有39種選法．同理，第一個數(shù)如果是奇數(shù)，第二個數(shù)也有39種選法，但第一個數(shù)為a，第二個為b與第一個為b，第二個為a是同一種選法，所以總的選法應(yīng)該折半，即共有

　　種選法．

初一奧數(shù)練習(xí)題五

1．一項任務(wù)，若每天超額2件，可提前計劃3天完工，若每天超額4件，可提前5天完工，試求工作的件數(shù)和原計劃完工所用的時間．

　　2．已知兩列數(shù)

2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3，

5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4，

　　它們都有200項，問這兩列數(shù)中相同的項數(shù)有多少項？

　　3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的條件．

4．證明不等式

　　5．若兩個三角形有一個角對應(yīng)相等．求證：這兩個三角形的面積之比等于夾此角的兩邊乘積之比．

　　6．已知(x-1)2除多項式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，試求a，b的值．

　　7．今有長度分別為1，2，3，…，9的線段各一條，可用多少種不同方法，從中選用若干條，使它們能圍成一個正方形？

　　8．平面上有10條直線，其中4條是互相平行的．問：這10條直線最多能把平面分成多少部分？

　　9．邊長為整數(shù)，周長為15的三角形有多少個？

解答：

　　1．設(shè)每天計劃完成x件，計劃完工用的時間為y天，則總件數(shù)為xy件．依題意得

　　解之得

　　總件數(shù)xy=8×15=120(件)，即計劃用15天完工，工作的件數(shù)為120件．

　　2．第一列數(shù)中第n項表示為2＋(n-1)×3，第二列數(shù)中第m項表示為5＋(m-1)×4．要使2＋(n-1)×3＝5+(m-1)×4．

　　所以

因為1≤n≤200，所以

　　所以　　m=1，4，7，10，…，148共50項．

3．

x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式為3(a2-p)x＋2(q＋a3)，

　　所以所求的條件應(yīng)為

4．令

　　因為

所以

　　5．如圖1-106(a)，(b)所示．△ABC與△FDE中，

∠A=∠D．現(xiàn)將△DEF移至△ABC中，使∠A與∠D重合，DE=AE＇，DF=AF＇，連結(jié)F＇B．此時，△AE＇F＇的面積等于三角形DEF的面積．

　?、佟立诘?/p>

　　6．不妨設(shè)商式為x2+α·x＋β．由已知有

　　　x4＋ax3-3x2＋bx＋3

　　　　=(x-1)2(x2+α·x＋β)+(x＋1)

　　　　=(x2-2x＋1)(x2＋α·x＋β)＋x＋1

　　　　=x4+(α-2)x3+(1-2α＋β)x2＋(1＋α-2β)x＋β+1．

　　比較等號兩端同次項的系數(shù)，應(yīng)該有

　　只須解出

　　所以a=1，b=0即為所求．

　　7．因為

　　所以正方形的邊長≤11．

　　下面按正方形邊的長度分類枚舉：

　　(1)邊長為11：9＋2=8+3=7＋4=6+5，

　　　可得1種選法．

　　(2)邊長為10：9＋1=8＋2=7＋3=6+4，

　　　可得1種選法．

　　(3)邊長為9：9=8+1=7+2=6+3=5+4，

　　　可得5種選法．

　　(4)邊長為8：8=7+1=6+2=5+3，

　　　可得1種選法．

　　(5)邊長為7：7=6+1=5＋2=4＋3，

　　　可得1種選法．

　　(6)邊長≤6時，無法選擇．

　　綜上所述共有1+1+5+1+1=9

　　種選法組成正方形．

　　8．先看6條不平行的直線，它們最多將平面分成

2+2＋3+4+5＋6=22個部分．

　　現(xiàn)在加入平行線．加入第1條平行線，它與前面的6條直線最多有6個交點，它被分成7段，每一段將原來的部分一分為二，故增加了7個部分．加入第2，第3和第4條平行線也是如此，即每加入一條平行線，最多增加7個部分．因此這些直最多將平面分成

22+7×4=50

　　個部分．

　　9．不妨設(shè)三角形的三邊長a，b，c滿足a≥b≥c．由b＋c＞a，a＋b＋c=15，a≥b≥c可得，15=a＋(b＋c)＞2a，所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a，故a≥5．于是a=5，6，7．當(dāng)a=5時，b＋c=10，故b=c=5；當(dāng)a=b時，b＋c=9．于是b=6，c=3，或b=5，c=4；當(dāng)a=7時，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4．

　　所以滿足題意的三角形共有7個．