法國數(shù)學家韋達提出的韋達公式有誰記得

發(fā)布時間：2025-11-30 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉載和整理

韋達簡介[編輯本段]韋達（Viete，F(xiàn)rancois，seigneurdeLaBigotiere）是法國十六世紀最有影響的數(shù)學家之一。第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進。他1540年生于法國的普瓦圖。1603年12月13日卒于巴黎。年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為***破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關系的結論稱為“韋達定理”）。韋達在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之父”。韋達最重要的貢獻是對代數(shù)學的推進，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展。韋達用“分析”這個詞來概括當時代數(shù)的內容和方法。他創(chuàng)設了大量的代數(shù)符號，用字母代替未知數(shù)，系統(tǒng)闡述并改良了三、四次方程的解法，指出了根與系數(shù)之間的關系。給出三次方程不可約情形的三角解法。著有《分析方法入門》、《論方程的識別與訂正》等多部著作。韋達從事數(shù)學研究只是出于愛好，但是他卻完成了代數(shù)和三角學方面的巨著。他的《應用于三角形的數(shù)學定律》（1579年）是韋達最早的數(shù)學專著之一，可能是西歐第一部論述6種三角形函數(shù)解平面和球面三角形方法的系統(tǒng)著作。他被稱為現(xiàn)代代數(shù)符號之父。韋達還專門寫了一篇論文截角術，初步討論了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代數(shù)變換應用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函數(shù)并給出當n≤11等于任意正整數(shù)的倍角表達式了。他的《解析方法入門》一書（1591年），集中了他以前在代數(shù)方面的大成，使代數(shù)學真正成為數(shù)學中的一個優(yōu)秀分支。他對方程論的貢獻是在《論方程的整理和修正》一書中提出了二次、三次和四次方程的解法?！斗治龇椒ㄈ腴T》是韋達最重要的代數(shù)著作，也是最早的符號代數(shù)專著，書中第1章應用了兩種希臘文獻：帕波斯的《數(shù)學文集》第7篇和丟番圖著作中的解題步驟結合起來，認為代數(shù)是一種由已知結果求條件的邏輯分析技巧，并自信希臘數(shù)學家已經(jīng)應用了這種分析術，他只不過將這種分析方法重新組織。韋達不滿足于丟番圖對每一問題都用特殊解法的思想，試圖創(chuàng)立一般的符號代數(shù)。他引入字母來表示量，用輔音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后來用過N）等表示未知量x，而用Aquadratus,Acubus表示x2、x3，并將這種代數(shù)稱為本“類的運算”以此區(qū)別于用來確定數(shù)目的“數(shù)的運算”。當韋達提出類的運算與數(shù)的運算的區(qū)別時，就已規(guī)定了代數(shù)與算術的分界。這樣代數(shù)就成為研究一般的類和方程的學問，這種革新被認為是數(shù)學史上的重要進步，它為代數(shù)學的發(fā)展開辟了道路，因此韋達被西方稱為代數(shù)學之父。1593年，韋達又出版了另一部代數(shù)學專著—《分析五篇》（5卷，約1591年完成）；《論方程的識別與訂正》是韋達逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在1591年業(yè)已完成。其中得到一系列有關方程變換的公式，給出了G.卡爾達諾三次方程和L.費拉里四次方程解法改進后的求解公式。而另一成就是記載了著名的韋達定理，即方程的根與系數(shù)的關系式。韋達還探討了代數(shù)方程數(shù)值解的問題，1600年以《冪的數(shù)值解法》為題出版。1593年韋達在《分析五篇》中曾說明怎樣用直尺和圓規(guī)作出導致某些二次方程的幾何問題的解。同年他的《幾何補篇》（Supplementumgeometriae）在圖爾出版了，其中給尺規(guī)作圖問題所涉及的一些代數(shù)方程知識。另外韋達最早明確給出有關圓周率π值的無窮運算式,而且創(chuàng)造了一套10進分數(shù)表示法，促進了記數(shù)法的改革。之后韋達用代數(shù)方法解決幾何問題的思想由笛卡兒繼承，發(fā)展成為解析幾何學。韋達從某個方面講，又是幾何學方面的權威，他通過393416個邊的多邊形計算出圓周率，精確到小數(shù)點后9位，在相當長的時間里處于世界領先地位。韋達還專門寫了一篇論文截角術，初步討論了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代數(shù)變換應用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函數(shù)并給出當n≤11等于任意正整數(shù)的倍角表達式了。韋達最重要的貢獻是對代數(shù)學的推進，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展。韋達用“分析”這個詞來概括當時代數(shù)的內容和方法。他創(chuàng)設了大量的代數(shù)符號，用字母代替未知數(shù)，系統(tǒng)闡述并改良了三、四次方程的解法，指出了根與系數(shù)之間的關系。給出三次方程不可約情形的三角解法。著有《分析方法入門》、《論方程的識別與訂正》等多部著作。由于韋達做出了許多重要貢獻，成為十六世紀法國最杰出的數(shù)學家之一。韋達定理(Vieta'sTheorem）的內容[編輯本段]一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac≥0)中設兩個根為X1和X2則X1+X2=-b/aX1*X2=c/a韋達定理的推廣[編輯本段]韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的對一個一元n次方程∑AiX^i=0它的根記作X1,X2…,Xn我們有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求積。如果一元二次方程在復數(shù)集中的根是，那么法國數(shù)學家韋達最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關系，因此人們把這個關系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。由代數(shù)基本定理可推得：任何一元n次方程在復數(shù)集中必有根。因此該方程的左端可以在復數(shù)范圍內分解成一次因式的乘積：其中是該方程的個根。兩端比較系數(shù)即得韋達定理。韋達定理在方程論中有著廣泛的應用。韋達定理的證明[編輯本段]設x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個解。有:a(x-x1)(x-x2)=0所以ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0通過對比系數(shù)可得：-a(x1+x2)=bax1x2=c所以x1+x2=-b/ax1x2=c/a韋達定理推廣的證明[編輯本段]設x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）通過系數(shù)對比可得：A（n-1）=-An(∑xi)A（n-2）=An(∑xixj)…A0==(-1)^n*An*∏Xi所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求積。