二次偏導公式順序

發(fā)布時間：2025-12-02 | 來源：互聯(lián)網轉載和整理

二階偏導數就是對函數關于同一個自變量連續(xù)求兩次導數,即d(dy/dx)/dx因為對多元函數的某一自變量求偏導時，“假定”其它變量為“常數”。

換句話說對變量求偏導的先后次序，并不影響最終的求偏導結果。不失一般性設z=f(x2y,xy2)具有二階連續(xù)偏導數，我們來證明?2z/?x?y=?2z/?y?x。設u=x2y，v=xy2，則 ?u/?x=2xy，?u/?y=x2；?v/?x=y2，?v/?y=2xy。故有?z/?x=(?f/?u)(?u/?x)+(?f/?v)(?v/?x)=2xy(?f/?u)+y2(?f/?v)?2z/?x?y=?(?z/?x)/?y=?[2xy(?f/?u)+y2(?f/?v)]/?y=2x(?f/?u)+2xy(?2f/?u2)(?u/?y)+2y(?f/?v)+y2(?2f/?v2)(?v/?y)=2x(?f/?u)+2x3y(?2f/?u2)+2y(?f/?v)+2xy3(?2f/?v2)?z/?y=(?f/?u)(?u/?y)+(?f/?v)(?v/?y)=x2(?f/?u)+2xy(?f/?v)?2z/?y?x=?(?z/?y)/?x=?[x2(?f/?u)+2xy(?f/?v)]/?x=2x(?f/?u)+x2(?2f/?u2)(?u/?x)+2y(?f/?v)+2xy(?2f/?v2)(?v/?x)=2x(?f/?u)+2x3y(?2f/?u2)+2y(?f/?v)+2xy3(?2f/?v2)=?2z/?x?y顯然，?2z/?x?y=?2z/?y?x，所以求二階偏導時，與自變量的先后次序無關。