n階冪等矩陣的性質(zhì)

發(fā)布時(shí)間：2025-12-05 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

n階冪等矩陣（idempotent matrix）定義：若A為方陣，且A2=A，則A稱為冪等矩陣。

例如某行全為1而其他行全為0的方陣是冪等矩陣。實(shí)際上由Jordan標(biāo)準(zhǔn)型易知，所有冪等矩陣都相似于對(duì)角元全為0或1的對(duì)角陣n階冪等矩陣的主要性質(zhì)：

1. 冪等矩陣的特征值只可能是0，1；2.冪等矩陣可對(duì)角化；3.冪等矩陣的跡等于冪等矩陣的秩，即tr(A)=rank(A)；4.可逆的冪等矩陣為E；5.方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣；6.冪等矩陣A滿足：A(E-A)=(E-A)A=0；7.冪等矩陣A：Ax=x的充要條件是x∈R(A)；8.A的核N(A)等于(E-A)的列空間R(E-A),且N(E-A)=R(A)?？紤]冪等矩陣運(yùn)算后仍為冪等矩陣的要求，可以給出冪等矩陣的運(yùn)算：

1、）設(shè) A?，A?都是冪等矩陣，則(A?+A?) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A?·A? =A?·A?=0，且有：R(A?+A?) =R (A?) ⊕R (A?)；N(A?+A?) =N(A?)∩N(A?)；2）設(shè) A?， A?都是冪等矩陣，則(A?-A?) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A?·A?=A?·A?=A?，且有：R(A?-A?) =R(A?)∩N (A?)；N (A?- A?) =N (A?)⊕R (A?)；3）設(shè) A?，A?都是冪等矩陣，若A?·A?=A?·A?，則A?·A?為冪等矩陣，且有：R (A?·A?) =R(A?) ∩R (A?)；N (A?·A?) =N (A?) +N (A?)。