怎么評(píng)價(jià)康托爾的影響呢

發(fā)布時(shí)間：2025-08-23 | 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

首先要評(píng)價(jià)康托爾的影響，首先需要知道他做了什么。他的主要貢獻(xiàn)在于兩個(gè)：1，***論。2，超窮數(shù)理論。這兩個(gè)都對(duì)應(yīng)著同一個(gè)元數(shù)學(xué)對(duì)象，那就是“無(wú)窮”。介紹下背景和影響：所謂“***論”，***論在誕生的基本原因，來(lái)自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無(wú)窮過(guò)程，無(wú)窮小和無(wú)窮大這些無(wú)窮概念，但是這些概念數(shù)學(xué)家并沒(méi)有準(zhǔn)確的在元數(shù)學(xué)層面去“定位”他，雖然數(shù)學(xué)分析理論在此時(shí)已經(jīng)初見(jiàn)規(guī)模，但是不解決這個(gè)理論基礎(chǔ)問(wèn)題，總歸體系不明?？挛髟凇稑O限理論》解決了這些基本的邏輯困難。但是并沒(méi)有徹底完成“分析”的嚴(yán)密化，有一定的模糊性，因?yàn)闆](méi)有真正拜托幾何直觀，不深入到基礎(chǔ)中去，無(wú)法達(dá)成良好自恰。而讓康托爾開(kāi)始深入到“分析”領(lǐng)域的其實(shí)是這樣與個(gè)問(wèn)題：“任意函數(shù)的三角級(jí)數(shù)的表達(dá)式是否唯一?！焙ＤC明了“定義區(qū)間里除去間斷點(diǎn)任意小鄰域保持一直收斂”。。但間斷點(diǎn)的情況如何呢?？低袪栕隽巳缦吕碚摻ⅲ狐c(diǎn)集論，也就是將無(wú)窮點(diǎn)集作為對(duì)象。而這種思想的影響大概在以下幾點(diǎn)：1，一個(gè)無(wú)窮***能夠和它的部分構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，恰恰反應(yīng)了無(wú)窮***的一個(gè)本質(zhì)特征。2，確立了實(shí)數(shù)不可數(shù)性質(zhì)。3，n維連續(xù)空間與一維連續(xù)統(tǒng)具有相同的基數(shù)。4，給出了超窮數(shù)的一個(gè)完全一般的理論，其中借助良序集的序型引進(jìn)了超窮序數(shù)的整個(gè)譜系。5，康托爾對(duì)于“無(wú)窮”在元數(shù)學(xué)上的立場(chǎng)和認(rèn)識(shí)，讓哲學(xué)認(rèn)識(shí)論領(lǐng)域的“千年老坑”被炸了出來(lái)，正愁沒(méi)事干的哲學(xué)家們瞬間找到目標(biāo)了，大量關(guān)于***論本身的數(shù)學(xué)哲學(xué)討論，以及其他哲學(xué)領(lǐng)域的討論被炸了出來(lái)，這也算是元數(shù)學(xué)研究對(duì)于哲學(xué)命題方向的一次指導(dǎo)。6，這種新的理論概念已經(jīng)滲透到代數(shù)、拓?fù)浜头治龅仍S多數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)等一些自然科學(xué)部門(mén)，也引起了哲學(xué)方**的一些討論。

而“超限數(shù)理論”進(jìn)一步擴(kuò)充了他的研究，作用在于：改變了早期用公理定義(序)數(shù)的方法，采用***作為基本概念。他給出了超限基數(shù)和超限序數(shù)的定義，引進(jìn)了它們的符號(hào)；依勢(shì)的大小把它們排成一個(gè)“序列”；規(guī)定了它們基本運(yùn)算。