卡當(dāng)公式推導(dǎo)

發(fā)布時(shí)間：2025-09-03 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

卡當(dāng)公式又稱卡爾達(dá)諾公式或“卡爾丹公式，是一個(gè)用于求解三次方程的公式。

卡爾達(dá)諾幾何意義上的證明是利用不斷逼近方體的體積來實(shí)現(xiàn)的。所以在此處筆者將利用公式缺項(xiàng)處理，對該公式做一推導(dǎo)。由一元三次方程的完整式X3+a1X2+a2X+a3=0 (1)和缺項(xiàng)式X3+pX+q=0 (2)可知，欲將式 (1)轉(zhuǎn)換為式 (2)，需令y=X－a1/3代入式 (1)，得（X－a1/3）3+a1（X－a1/3）2+…=0，化簡后，其中含X2的項(xiàng)已經(jīng)抵消，這樣就將問題化為了式(2)的形式了。令X=u+v，于是將其代入式(2)中，則（u+v）3+p（u+v）+q=0 （3），化簡易得（u3+v3）+q+（u+v）（3uv+p）=0（4）由于u、v是兩個(gè)變數(shù)，而該處僅置一個(gè)方程，為通過u、v確定X則需設(shè)（u3+v3）+q=0（5）和（u+v）（3uv+p）=0（6），由此得u3+v3=-q，u3v3=-P3/27，依此做一元二次方程Z2+qZ－p3/27=0，則得u3=-q/2+（q2/4+p3/27）1/2，v3=-q/2－（q2/4+p3/27）1/2，則方程解應(yīng)為X=[-q/2+（q2/4+p3/27）1/2]1/3+[-q/2－（q2/4+p3/27）1/2]1/3，因?yàn)榉匠谈竭€有虛數(shù)根存在，化簡篩選既可得出三個(gè)根解。由方程式判別式D確定，D<0時(shí)，方程有三根；當(dāng)D=0時(shí)，X1=2(-q/2)1/3，X2=X3=(q/2)1/3;當(dāng)D>0,只有一實(shí)根，其余兩根為共軛復(fù)數(shù)根。