統(tǒng)計學中的標準差有什么意義

發(fā)布時間：2025-09-15 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉載和整理

方差方差和標準差：樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差；樣本方差的算術平方根叫做樣本標準差。

樣本方差和樣本標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。數(shù)學上一般用E{[X-E(X)]^2}來度量隨機變量X與其均值E(X)的偏離程度，稱為X的方差。定義設X是一個隨機變量，若E{[X-E(X)]^2}存在，則稱E{[X-E(X)]^2}為X的方差，記為D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（與X有相同的量綱）稱為標準差或均方差。由方差的定義可以得到以下常用計算公式：D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2方差的幾個重要性質（設一下各個方差均存在）。

（1）設c是常數(shù)，則D(c)=0。

（2）設X是隨機變量，c是常數(shù)，則有D(cX)=c^2D(X)。

（3）設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)。

（4）D(X)=0的充分必要條件是X以概率為1取常數(shù)值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。標準差 標準差(Standard Deviation) 各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用σ表示。所以標準差也是一種平均數(shù)標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。例如A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數(shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分數(shù)為73、72、71、69、68、67。 這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標準差為17.08分，B組的標準差為2.16分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。