簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)及其對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響

發(fā)布時(shí)間：2025-09-23 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)

陳基耿

摘要：數(shù)學(xué)發(fā)展從來不是完全直線式的，而是常常出現(xiàn)悖論。

歷史上一連串的

數(shù)學(xué)悖論動(dòng)搖了人們對(duì)數(shù)學(xué)可靠性的信仰，數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)發(fā)生了三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

數(shù)學(xué)悖論的產(chǎn)生和危機(jī)的出現(xiàn)，不單給數(shù)學(xué)帶來麻煩和失望，更重要的是給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來新的生機(jī)和希望，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的繁榮。

危機(jī)產(chǎn)生、解決、又產(chǎn)生的無窮反復(fù)過程，不斷推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這個(gè)過程也是數(shù)學(xué)思想獲得重要發(fā)展的過程。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)悖論；數(shù)學(xué)危機(jī)；畢達(dá)哥拉斯悖論；貝克萊悖論；羅素悖論

數(shù)學(xué)歷來被視為嚴(yán)格、和諧、精確的學(xué)科，縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，數(shù)學(xué)發(fā)展從來不是完全直線式的，他的體系不是永遠(yuǎn)和諧的，而常常出現(xiàn)悖論。

悖論是指在某一一定的理論體系的基礎(chǔ)上，根據(jù)合理的推理原則，推出了兩個(gè)互相矛盾的命題，或者是證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式[1]。

數(shù)學(xué)悖論在數(shù)學(xué)理論中的發(fā)展是一件嚴(yán)重的事，因?yàn)樗苯訉?dǎo)致了人們對(duì)于相應(yīng)理論的懷疑，而如果一個(gè)悖論所涉及的面十分廣泛的話，甚至涉及到整個(gè)學(xué)科的基礎(chǔ)時(shí)，這種懷疑情緒又可能發(fā)展成為普遍的危機(jī)感，特別是一些重要悖論的產(chǎn)生自然引起人們對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的懷疑以及對(duì)數(shù)學(xué)可靠性信仰的動(dòng)搖。

數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)發(fā)生過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，每次都是由一兩個(gè)典型的數(shù)學(xué)悖論引起的。

本文回顧了歷史上發(fā)生的三次數(shù)學(xué)危機(jī)，重點(diǎn)介紹了三次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要作用。

1畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

1.1第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容

公元前六世紀(jì)，在古希臘學(xué)術(shù)界占統(tǒng)治地位的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，其思想在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是絕對(duì)權(quán)威的真理，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派倡導(dǎo)的是一種稱為“唯數(shù)論”的哲學(xué)觀點(diǎn)，他們認(rèn)為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧[2]。

他們認(rèn)為萬物皆數(shù)，而數(shù)只有兩種，就是正整數(shù)和可通約的數(shù)（即分?jǐn)?shù)，兩個(gè)整數(shù)的比），除此之外不再有別的數(shù)，即是說世界上只有整數(shù)或分?jǐn)?shù)。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了畢達(dá)哥拉斯定理[3]，也就是我們所說的勾股定理。

勾股定理指出直角三角形三邊應(yīng)有如下關(guān)系，即a2=b2+c2，a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊，c表示斜邊。

但是不久畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)學(xué)生希伯斯很快便發(fā)現(xiàn)了這個(gè)論斷的問題。

他發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)相等的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)并不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示。

假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，并設(shè)其對(duì)角線長(zhǎng)為d，依勾股定理應(yīng)有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？顯然d不是整數(shù)，那它必是兩整數(shù)之比。

希伯斯花了很多時(shí)間來尋找這兩個(gè)整數(shù)之比，結(jié)果沒找著，反而找到了兩數(shù)不可通約性的證明[4]，用反證法證明如下：設(shè)Rt△ABC，兩直角邊為a=b，則由勾股定理有c2=2a2，設(shè)已將a和c中的公約數(shù)約去，即a、c已經(jīng)互素，于是c為偶數(shù)，a為奇數(shù)，不妨令c=2m，則有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a為偶數(shù)，這與前面已證a為奇數(shù)矛盾。

這一發(fā)現(xiàn)歷史上稱為畢達(dá)哥拉斯悖論。

1.2第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響

畢達(dá)哥拉斯悖論的出現(xiàn)，對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派產(chǎn)生了沉重的打擊，“數(shù)即萬物”的世界觀被極大的動(dòng)搖了,有理數(shù)的尊崇地位也受到了挑戰(zhàn)，因此也影響到了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，使數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極度的思想混亂，歷史上稱之為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響是巨大的，它極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。

首先第一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓人們第一次認(rèn)識(shí)到了無理數(shù)的存在，無理數(shù)從此誕生了，之后，許多數(shù)學(xué)家正式研究了無理數(shù)，給出了無理數(shù)的嚴(yán)格定義，提出了一個(gè)含有有理數(shù)和無理數(shù)的新的數(shù)類——實(shí)數(shù)，并建立了完整的實(shí)數(shù)理論[5]，為數(shù)學(xué)分析的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

再者第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演繹推理，并由此建立了幾何公理體系。

歐氏幾何就是人們?yōu)榱讼?，解除危機(jī)，在這時(shí)候應(yīng)運(yùn)而生的[6]。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)極大地促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展,使幾何學(xué)在此后兩千年間成為幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這不能不說是數(shù)學(xué)思想史上的一次巨大革命。

2貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

2.1第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容

公元17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，微積分能提示和解釋許多自然現(xiàn)象，它在自然科學(xué)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中的重要作用引起人們高度的重視。

但是因?yàn)槲⒎e分才剛剛建立起來，這時(shí)的微積分只有方法，沒有嚴(yán)密的理論作為基礎(chǔ)，許多地方存在漏洞，還不能自圓其說。

例如牛頓當(dāng)時(shí)是這樣求函數(shù)y＝xn的導(dǎo)數(shù)的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n?xn-1?△x＋[n（n+1）/2]?xn-2?(△x)2＋……＋（△x）n，然后用自變量的增量△x除以函數(shù)的增量△y，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn]/△x＝n?xn-1＋[n（n-1）/2]?xn-2?△x＋……＋n?x?（△x）n-2＋（△x）n-1，最后扔掉其中含有無窮小量△x的項(xiàng)，即得函數(shù)y=xn的導(dǎo)數(shù)為y′=nxn-1。

對(duì)于牛頓對(duì)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程的論述，哲學(xué)家貝克萊很快發(fā)現(xiàn)了其中的問題，他一針見血的指出：先用△x為除數(shù)除以△y，說明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的項(xiàng)，則又說明△x等于零，這豈不是自相矛盾嗎？因此貝克萊嘲弄無窮小是“逝去的量的鬼魂”，他認(rèn)為微積分是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了正確的結(jié)果，說微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。

[8]這就是著名的“貝克萊悖論”。

確實(shí)這種在同一問題的討論中，將所謂的無窮小量有時(shí)作為0，有時(shí)又異于0的做法，不得不讓人懷疑。

無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？貝克萊悖論的出現(xiàn)危及到了微積分的基礎(chǔ)，引起了數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)多世紀(jì)的論戰(zhàn)，從而形成了數(shù)學(xué)發(fā)展史中的第二次危機(jī)。

2.2第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響[8]

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)，迫使數(shù)學(xué)家們不得不認(rèn)真對(duì)待無窮小量△x，為了克服由此引起思維上的混亂，解決這一危機(jī)，無數(shù)人投入大量的勞動(dòng)。

在初期經(jīng)過歐拉、拉格朗日等人的努力,微積分取得了一些進(jìn)展；從19世紀(jì)開始為徹底解決微積分的基礎(chǔ)問題，柯西、外爾斯特拉斯等人進(jìn)行了微積分理論的嚴(yán)格化工作。

微積分內(nèi)在的根本矛盾，就是怎樣用數(shù)學(xué)的和邏輯的方法來表現(xiàn)無窮小，從而表現(xiàn)與無窮小緊密相關(guān)的微積分的本質(zhì)。

在解決使無窮小數(shù)學(xué)化的問題上，出現(xiàn)了羅比達(dá)公理：一個(gè)量增加或減少與之相比是無窮小的另一個(gè)量，則可認(rèn)為它保持不變。

而柯西采用的ε－δ方法刻畫無窮小，把無窮小定義為以0為極限的變量，沿用到今，無窮小被極限代替了。

后來外爾斯特拉斯又把它明確化，給出了極限的嚴(yán)格定義，建立了極限理論，這樣就使微積分建立在極限基礎(chǔ)之上了。

極限的ε－δ定義就是用靜態(tài)的ε－δ刻畫動(dòng)態(tài)極限，用有***來描述無限性過程，它是從有限到無限的橋梁和路標(biāo)，它表現(xiàn)了有限與無限的關(guān)系，使微積分朝科學(xué)化、數(shù)學(xué)化前進(jìn)了一大步。

極限理論的建立加速了微積分的發(fā)展，它不僅在數(shù)學(xué)上，而且在認(rèn)識(shí)論上也有重大的意義。

后來在考查極限理論的基礎(chǔ)中，經(jīng)過代德金、康托爾、海涅、外爾斯特拉斯和巴門赫等人的努力，產(chǎn)生了實(shí)數(shù)理論；在考查實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)時(shí)，康托爾又創(chuàng)立了***論。

這樣有了極限理論、實(shí)數(shù)理論和***論三大理論后，微積分才算建立在比較穩(wěn)固和完美的基礎(chǔ)之上了，從而結(jié)束了二百多年的紛亂爭(zhēng)論局面，進(jìn)而開辟了下一個(gè)世紀(jì)的函數(shù)論的發(fā)展道路。

3羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

3.1第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容

在前兩次數(shù)學(xué)危機(jī)解決后不到30年即19世紀(jì)70年代,德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了***論,***論是數(shù)學(xué)上最具革命性的理論,初衷是為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1900年，在巴黎召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上，法國(guó)大數(shù)學(xué)家龐加萊興奮的宣布[9]：“我們可以說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了絕對(duì)的嚴(yán)格。”但是正當(dāng)人們?yōu)?**論的誕生而歡欣鼓舞之時(shí),一串串?dāng)?shù)學(xué)悖論卻冒了出來，又?jǐn)嚨脭?shù)學(xué)家心里忐忑不安,其中英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素1902年提出的悖論影響最大,“羅素悖論”的內(nèi)容是這樣的：設(shè)***B是一切不以自身為元素的***所組成的***，問：B是否屬于B？若B屬于B，則B是B的元素，于是B不屬于自身，即B不屬于B；反之，若B不屬于B，則B不是B的元素，于是B屬于自己，即B屬于B。

這樣利用***的概念，羅素導(dǎo)出了——***B不屬于B當(dāng)且僅當(dāng)***B屬于B時(shí)成立的悖論。

之后羅素本人還提出了羅素悖論的通俗版本，即理發(fā)師悖論[10]。

理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只為村子里不給自己刮胡子的人刮胡子。

那么現(xiàn)在的問題是，理發(fā)師的胡子應(yīng)該由誰來刮？。

如果他自己給自己刮胡子，那么他就是村子里給自己刮胡子的人，根據(jù)他的原則，他就不應(yīng)給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，那么他就是村子里不給自己刮胡子的人，那么又按他的原則他就該為自己刮胡子。

同樣有產(chǎn)生了這樣的悖論：理發(fā)師給自己刮胡子當(dāng)且僅當(dāng)理發(fā)師不給自己刮胡子。

這就是歷史上著名的羅素悖論。

羅素悖論的出現(xiàn)，動(dòng)搖了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界，導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

3.2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響

羅素悖論的出現(xiàn)，動(dòng)搖了本來作為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)——***論，自然引起人們對(duì)數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)有效性的懷疑。

羅素悖論的高明之處，還在于它只是用了***的概念本身，而并不涉及其它概念而得出來的，使人們更是無從下手解決。

羅素悖論導(dǎo)致的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，使數(shù)學(xué)家們面臨著極大的困難。

數(shù)學(xué)家弗雷格在他剛要出版的《論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》卷二末尾就寫道[11]：“對(duì)一位科學(xué)家來說沒有一件比下列事實(shí)更令人掃興：當(dāng)他工作剛剛完成的時(shí)候，它的一塊基石崩塌下來了。

在本書的印刷快要完成時(shí)，羅素先生給我的一封信就使我陷入這種境地?！笨梢姷谌螖?shù)學(xué)危機(jī)使人們面臨多么尷尬的境地。

但是科學(xué)面前沒有人會(huì)回避，數(shù)學(xué)家們立即投入到了消除悖論的工作中，值得慶幸的是，產(chǎn)生羅素悖論的根源很快被找到了，原來康托爾提出***論時(shí)對(duì)“***”的概念沒有做必要的限制，以至于可以構(gòu)造“一切***的集體”這種過大的***而產(chǎn)生了悖論。

為了從根本上消除***論中出現(xiàn)的各種悖論，特別是羅素悖論，許多數(shù)學(xué)家進(jìn)行了不懈的努力。

如以羅素為主要代表的邏輯主義學(xué)派[12]，提出了類型論以及后來的曲折理論、限制大小理論、非類理論和分支理論，這些理論都對(duì)消除悖論起到了一定的作用；而最重要的是德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅提出的***論的公理化，策梅羅認(rèn)為，適當(dāng)?shù)墓眢w系可以限制***的概念，從邏輯上保證***的純粹性，他首次提出了*****理系統(tǒng)，后經(jīng)費(fèi)蘭克爾、馮?諾伊曼等人的補(bǔ)充形成了一個(gè)完整的*****理體系（ZFC系統(tǒng)）[5]，在ZFC系統(tǒng)中，“***”和“屬于”是兩個(gè)不加定義的原始概念，另外還有十條公理。

ZFC系統(tǒng)的建立，使各種矛盾得到回避，從而消除了羅素悖論為代表的一系列***悖論，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)也隨之銷聲匿跡了。

盡管悖論消除了，但數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步喪失，現(xiàn)代公理***論一大堆公理是在很難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的，所以第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)[7]。

為了消除第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)理邏輯也取得了很大發(fā)展，證明論、模型論和遞歸論相繼誕生，出現(xiàn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論、類型論和多值邏輯等。

可以說第三次數(shù)學(xué)危機(jī)大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性，而且也因此直接造成了數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的“黃金時(shí)代”。

4結(jié)語

歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)，給人們帶來了極大的麻煩，危機(jī)的產(chǎn)生使人們認(rèn)識(shí)到了現(xiàn)有理論的缺陷，科學(xué)中悖論的產(chǎn)生常常預(yù)示著人類的認(rèn)識(shí)將進(jìn)入一個(gè)新階段，所以悖論是科學(xué)發(fā)展的產(chǎn)物，又是科學(xué)發(fā)展源泉之一。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使人們發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，建立了完整的實(shí)數(shù)理論，歐氏幾何也應(yīng)運(yùn)而生并建立了幾何公理體系；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)，直接導(dǎo)致了極限理論、實(shí)數(shù)理論和***論三大理論的產(chǎn)生和完善，使微積分建立在穩(wěn)固且完美的基礎(chǔ)之上；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，使***論成為一個(gè)完整的*****理體系（ZFC系統(tǒng)），促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性。

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的深入研究、悖論的出現(xiàn)和危機(jī)的相對(duì)解決有著十分密切的關(guān)系，每一次危機(jī)的消除都會(huì)給數(shù)學(xué)帶來許多新內(nèi)容、新認(rèn)識(shí)，甚至是革命性的變化，使數(shù)學(xué)體系達(dá)到新的和諧，數(shù)學(xué)理論得到進(jìn)一步深化和發(fā)展。

悖論的存在反映了數(shù)學(xué)概念、原理在一定歷史階段會(huì)存在很多矛盾，導(dǎo)致人們的懷疑，產(chǎn)生危機(jī)感，但是事物就是在不斷產(chǎn)生矛盾和解決矛盾中逐漸發(fā)展完善起來的，舊的矛盾解決了,新的矛盾還會(huì)產(chǎn)生，而就是在其過程中，人們便不斷積累了新的認(rèn)識(shí)、新的知識(shí)，發(fā)展了新的理論。

數(shù)學(xué)家對(duì)悖論的研究和解決促進(jìn)了數(shù)學(xué)的繁榮和發(fā)展，數(shù)學(xué)中悖論的產(chǎn)生和危機(jī)的出現(xiàn)，不單是給數(shù)學(xué)帶來麻煩和失望，更重要的是給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來新的生機(jī)和希望。

數(shù)學(xué)中悖論和危機(jī)的歷史也說明了這一點(diǎn)：已有的悖論和危機(jī)消除了，又產(chǎn)生新的悖論和危機(jī)。

但是人的認(rèn)識(shí)是發(fā)展的，悖論或危機(jī)遲早都能獲得解決。

“產(chǎn)生悖論和危機(jī)，然后努力解決它們，而后又產(chǎn)生新的悖論和危機(jī)?！边@是一個(gè)無窮反復(fù)的過程，也就不斷推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這個(gè)過程也是數(shù)學(xué)思想獲得重要發(fā)展的過程。

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