第二次數(shù)學(xué)危機如何解決的

發(fā)布時間：2025-10-09 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

波爾查諾給出了連續(xù)性的正確定義；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級數(shù)展開及求和；柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量出發(fā)，認識到函數(shù)不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量。

并且定義了導(dǎo)數(shù)和積分；狄里赫利給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。在這些工作的基礎(chǔ)上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的極限的定義，連續(xù)的定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上。

19世紀(jì)70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數(shù)理論，而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析建立在實數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。

擴展資料：

關(guān)于第二次數(shù)學(xué)危機，自其爆發(fā)開始直到二十一世紀(jì)，始終都存在著不同意見。著名的數(shù)學(xué)家歐拉就堅持認為在求導(dǎo)數(shù)的運算中,其結(jié)果應(yīng)該是0/0。他舉例說如果計算地球的數(shù)值,則一顆灰塵、甚至成千上萬顆灰塵的誤差都是可以忽略的。

但是在微積分的運算中,“幾何的嚴(yán)格性要求連這樣小的誤差也不能有。”馬克思在他的《數(shù)學(xué)手稿》中說得更明確:求導(dǎo)數(shù)的運算的結(jié)果應(yīng)該是嚴(yán)格的、特定的0/0,批判了所謂“無限趨近”的說法。

這次危機不但沒有阻礙微積分的迅猛發(fā)展和廣泛應(yīng)用，反而讓微積分馳騁在各個科技領(lǐng)域，解決了大量的物理問題、天文問題、數(shù)學(xué)問題，大大推進了工業(yè)革命的發(fā)展。

就微積分自身而言，經(jīng)過本次危機的“洗禮”，其自身得到了不斷的系統(tǒng)化，完整化，擴展出了不同的分支，成為了18世紀(jì)數(shù)學(xué)世界的“霸主”。同時第二次數(shù)學(xué)危機也促進了19世紀(jì)的分析嚴(yán)格化、代數(shù)抽象化以及幾何非歐化的進程。