面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理

發(fā)布時間：2025-10-11 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

關(guān)于面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理如下：

面面垂直。判定定理：經(jīng)過一個平面的垂線的平面與該平面垂直。性質(zhì)定理：已知兩個平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直。幾何描述：若a⊥β，a?α，則α⊥β證明：任意兩個平面關(guān)系為相交或平行，設(shè)a⊥β，垂足為P，那么P∈β

∵a?α，P∈a∴P∈α即α和β有公共點P，所以α與β相交。設(shè)α∩β=b，∵P是α和β的公共點∴P∈b過P在β內(nèi)作c⊥b∵b?β，a⊥β∴a⊥b，垂足為P又c⊥b，垂足為P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c?β∴a⊥c，即∠aPc=90°根據(jù)面面垂直的定義，α⊥β如果一個平面的垂線平行于另一個平面，那么這兩個平面互相垂直。

已知α⊥a，a∥β，求證α⊥β證明：過a任意作一個平面γ與β相交，設(shè)交線為c∵a∥β∴a∥c（線面平行的性質(zhì)定理）∵a⊥α∴c⊥α（線面垂直的性質(zhì)定理）∵c?β∴β⊥α（定理1）

如果兩個平面的垂線互相垂直，那么這兩個平面互相垂直。（可理解為法向量垂直的平面互相垂直）證明：設(shè)有a⊥α，b⊥β，且a⊥b則根據(jù)線面平行的判定定理，有a∥β

∵a⊥α∴α⊥β（推論1）這些定理和推論都是向量法解題的基礎(chǔ)，例如向量法解得一個平面的法向量與另一個平面平行，那么這兩個平面就垂直。性質(zhì)定理

定理1如果兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP?α。求證：OP⊥β。

證明：過O在β內(nèi)作OQ⊥l，則由二面角知識可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角?！擀痢挺隆唷螾OQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l?β，OQ?β∴OP⊥β