三角形的內(nèi)切圓半徑怎么求

發(fā)布時(shí)間：2025-11-04 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

直角三角形的內(nèi)切圓半徑公式：r=(a+b-c)/2

設(shè)Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c　　

結(jié)論是：內(nèi)切圓半徑r＝(a＋b－c)/2　　

證明方法一般有兩種：　　

方法一：　　

設(shè)內(nèi)切圓圓心為O,三個(gè)切點(diǎn)為D、E、F,連接OD、OE　　

顯然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD＝OE　　所以四邊形CDOE是正方形　　

所以CD＝CE＝r　　所以AD＝b－r,BE＝a－r,　　

因?yàn)锳D＝AF,CE＝CF　　所以AF＝b－r,CF＝a－r　　

因?yàn)锳F＋CF＝AB＝r　　所以b－r＋a－r＝r　　內(nèi)切圓半徑r＝(a＋b－c)/2　　

即內(nèi)切圓直徑L＝a＋b－c　　

方法二：　　

設(shè)內(nèi)切圓圓心為O,三個(gè)切點(diǎn)為D、E、F,連接OD、OE、OF,OA、OB、OC　　

顯然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB　　所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB　　

所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2　　

所以r＝ab/(a＋b＋c)　?。絘b(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)　　＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]　　

因?yàn)閍^2＋b^2＝c^2　　所以內(nèi)切圓半徑r＝(a＋b－c)/2　　即內(nèi)切圓直徑L＝a＋b－c

一般三角形內(nèi)切圓半徑為r=2S/(a+b+c)，S是三角形的面積公式。公式推導(dǎo)

首先畫一個(gè)三角形以及三角形的內(nèi)接圓，分別連接圓心和三角形三個(gè)頂點(diǎn)（這時(shí)可見三角形分為了三個(gè)三角形），再分別連接圓心和三個(gè)切點(diǎn)（這時(shí)可見三角形分為六個(gè)個(gè)小三角形），可得這三條線段分別與三角形三條邊a、b、c垂直，這時(shí)三角形面積可以用三個(gè)小三角形來求，

既a*r/2+b*r/2+c*r/2=(a+b+c)*r/2=S所以r=2S/(a+b+c)

拓展資料

與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)

三角形一定有內(nèi)切圓，其他的圖形不一定有內(nèi)切圓（一般情況下，n邊形無內(nèi)切圓，但也有例外，如對邊之和相等的四邊形有內(nèi)切圓。），且內(nèi)切圓圓心定在三角形內(nèi)部。

在三角形中三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線段相等。

內(nèi)切圓的半徑為r=2S÷C，當(dāng)中S表示三角形的面積，C表示三角形的周長。

面積法；1/2lr(l周長）用于任意三角形

若以三角形的內(nèi)切圓為反演圓進(jìn)行反演，則三角形的三條邊和外接圓會分別變?yōu)榘霃较嗟鹊乃膫€(gè)圓（半徑都等于內(nèi)切圓半徑的一半）。

三角形的外接圓半徑R、內(nèi)切圓半徑r以及內(nèi)外心間距OI之間有如下關(guān)系：

r^2+OI^2=(R-r)^2