泰勒公式有哪幾個？

發(fā)布時間：2025-11-08 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

常用的泰勒公式只有六個具備口訣，具體如下：

1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，這是泰勒公式的正弦展開公式，在求極限的時候可以把sinx用泰勒公式展開代替。

2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，這是泰勒公式的反正弦展開公式，在求極限的時候可以把arcsinx用泰勒公式展開代替。

3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，這是泰勒公顫拍塌式的正切展開公式，在求極限的時候可以把tanx用泰勒公式展開代替。

4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，這是泰勒公式的反正切展開公式，在求極限的時候可以把arctanx用泰勒公式展開代替。

5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，這是泰勒公式的ln(1+x)展開公式，在求極限的時候可以把ln(1+x)用泰勒公式展開代替。

6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，這是泰勒公式的余弦展開公式，在求極賀余限的時候可以把cosx用泰勒公式展開代替。

泰勒公式簡介：

18世紀早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學(xué)家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市出生；1701年，泰勒進劍橋大學(xué)的圣約翰學(xué)院學(xué)習(xí)。

1709年后移居倫敦，獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位。

1712年當(dāng)選為英國皇家學(xué)會會員，同年進入促裁牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭論的委員會。并于兩年后獲法學(xué)博士學(xué)位。

從1714年起擔(dān)任皇家學(xué)會第一秘書，1718年以健康為由辭去這一職務(wù)。

1717年，他以泰勒定理求解了數(shù)值方程，最后在1731年12月29日于倫敦逝世。

泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世，這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個點的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來，但是在半個世紀里，數(shù)學(xué)家們并沒有認識到泰勒定理的重大價值，這一重大茄圓價值是后來由拉格朗日發(fā)現(xiàn)的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。

誰能告訴我泰勒展開式是什么,再給出幾個常用的公式就最好了

如下：

冪函數(shù)：

1、/(1-x)=1+x+x^2++x^n+ (|x|<1)

指數(shù)函數(shù)：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞<x<∞)

對數(shù)函數(shù)：ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)(x^k)/k+ (|x|<1)

三角函數(shù)：

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)

反三角函數(shù)：

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(|x|≤1)

arcsin x = x + 1/2x^3/3 + 13/(24)x^5/5 + ……(|x|<1)

歷史發(fā)展

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜的函數(shù)逼近近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，泰勒公式這種化繁為簡的功能，使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。

18世紀早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒( Brook Taylor)，其主宏瞎答要著作是1715年出版的《正的和反的增量方神坦法》，書中陳述了他于1712年7月給他老師梅欽信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了數(shù)值方程。泰勒公式是從格雷戈里—蔽慧—牛頓差值公式發(fā)展而來，它是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。

求考研數(shù)學(xué)中常用的幾個泰勒展開公式,謝謝!

一個函數(shù)n階可導(dǎo),則這個函數(shù)就可以用泰勒公式n階展開

即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)2/2!++f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0x

f＾(n)(x0)表示f(x)在x0處的n階導(dǎo)數(shù)0x表示比(x-x0)＾(n)更高階的無窮小

用拉格朗日型余項表示則0x=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!

而麥克勞林公式是泰勒公式在0點展開的特例

泰勒公式可以很容易的讓你得到f(x)展開式裂和中關(guān)于x的冪次項的系數(shù),也可由已知的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值推出原昌源源函數(shù)多用于求極限問題

比如求lim

(e＾x-x-1)/x2在x趨近于0時的極限

f(x)=e＾x在x=0處二次展開耐態(tài)=e＾(0)+e＾(0)(x-0)+e＾(0)(x-0)2/2!+0x

=1+x+x2/2;

那么lim

(e＾x-x-1)/x2=lim

(1+x+x2/2-x-1)/x2=1/2答案補充

用導(dǎo)數(shù)定義去理解

f’(x)=lim

[f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x->x0

那么就有當(dāng)x->x0時lim

f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)

lim

f(x)=f(x0)+f’(x)(x-x0)

lim

f(x)其于f(x)的誤差拉格朗日型余項為f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高階無窮小，一般用于證明題

泰勒公式的使用條件是什么

sinx=x-1/6x^3+o(x^3)

arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)

tanx=x+1/3x^3+o(x^3)

arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)

ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)

cosx=1-1/2x^2+o(x^2)

以慧答上適用于x趨于0時的譽碧拆泰勒慶棗展開

arctanx如何泰勒展開？

泰勒公式的使用條件：實際應(yīng)用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數(shù)的有限項的泰勒級數(shù)叫做泰勒展開式。

泰勒展開式的重要性體現(xiàn)在以下五個方面：

1、冪級數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項進行，因此求和函數(shù)相對比較容易。

2、一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復(fù)平面上的一個開片上的解析函數(shù)，并使得復(fù)分析這種手法可行。

3、泰勒級數(shù)可以用來近似計算函數(shù)的值，并估計誤差。

4、證明不等式。

5、求待定式的極限。

泰勒以閉握微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世。這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個點的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來。但是在半個世紀里，數(shù)學(xué)家們并沒有認識到泰勒定理的重敗桐大價值。這一重大價值是后來由拉格朗日發(fā)現(xiàn)的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之后，由柯西給出的。

泰勒定理開創(chuàng)了有限差分理論，使任何單變量函數(shù)都可展成冪級數(shù)；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒于書中還討論了微積分對一系列物理問題之應(yīng)用，其中以有關(guān)弦的橫向振動之結(jié)果尤為重要。他透過求解方程導(dǎo)出了基本頻率公式，開創(chuàng)了研究弦振問題之先河。另外此書還包括了他于數(shù)學(xué)上之其他創(chuàng)造性工作，如論述常微分察態(tài)坦方程的奇異解，曲率問題之研究等。

-泰勒公式

tanx泰勒展開式是什么？

(arctanx)'=1/(1+x^2)

=∑(-x^2)^n n從0到∞

=∑(-1)^n·x^(2n) n從0到∞

兩邊積棚段寬分，得到

arctanx=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1) n從0到∞

泰勒公式 ：

在數(shù)學(xué)中泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。

公式推導(dǎo)：

泰勒公式在x=a處展開為

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……

設(shè)冪級數(shù)為f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①

令x=a則a0=f(a)

將①式兩邊求一階導(dǎo)數(shù)，得

f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②

令x=a,得a1=f'(a)

對②兩邊求導(dǎo)，得

f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……

令x=a,得a2=f''燃答(a)/2!

繼續(xù)下去可得an=f(n)(a)/n!

所以f(x)在x=a處的泰勒公式為：

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……

應(yīng)用：用泰勒公式可把f(x)展開成冪鏈亮級數(shù)，從而可以進行近似計算，也可以計算極限值，等等。

另外一階泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理

f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a與b之間。

泰勒公式有哪些呢？

tanx的泰嘩纖灶勒展開式：tanx=x+x^3/3+（2x^5）/15+（17 x^7）/315+（62 x^9）/2835+O[x]^11（|x|<π/2）。

泰勒公式為一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。它將一些復(fù)雜的函數(shù)逼近近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，泰勒公式這種化繁為簡的功能，使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。

泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)亂扮建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。

常用的泰勒展開公式豎困：

1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……。

2、ln（1+x）=x-x^2/2+x^3/3-……+（-1）^（k-1）（x^k）/k+……（|x|<1）。

3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+（-1）^（k-1）（x^（2k-1））/（2k-1）!+……（-∞<x<∞）。

4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+（-1）k（x^（2k））/（2k）!+……（-∞<x<∞）。

5、arcsinx=x+1/2x^3/3+13/（24）x^5/5+……（|x|<1）。

6、arccosx=π-（x+1/2x^3/3+13/（24）x^5/5+……） （|x|<1）。

以下列舉一些常用函數(shù)的泰勒公式 ：

泰勒公式形式：

泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x）利用關(guān)于（x-x0）的n次多項式來逼近函數(shù)的方法。

若函數(shù)f（x）在包含x0的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間（a,b）上具有（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點x，成立下式：

其中表察宴示f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，等號后的多項式稱為函數(shù)f（x）在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn（x）橡衡是泰勒公式的余項，是（x-x0）n的高階無窮小。

參考資料：