兩個基的過渡矩陣怎么求

發(fā)布時間：2025-11-10 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉載和整理

在線性代數(shù)中，兩個基的過渡矩陣可以用來描述從一個基到另一個基的變換關系。如果我們有兩個基：原始基（稱為基A）和目標基（稱為基B），過渡矩陣可以幫助我們在這兩個基之間進行坐標轉換。下面是求解兩個基的過渡矩陣的一般步驟：

假設我們有兩組基向量分別是：基A: {a1, a2, ..., an} 基B: {b1, b2, ..., bn}

將基B中的每個向量以基A表示的線性組合，得到過渡矩陣T的列向量： T = [a1 | a2 | ... | an]

其中| 表示拼接。

對于目標基B中的每個向量bi，利用基A中的向量表示它的線性組合，得到該向量在基A下的坐標表示[xi]A： bi = xi1 * a1 + xi2 * a2 + ... + xin * an

將該等式寫成矩陣形式： [bi] = T * [xi]A

這里[xi]A 和 [bi] 分別表示向量xi和bi在基A和基B下的坐標表示。

根據(jù)上述方程，通過求解線性方程組 T * [xi]A = [bi]，我們可以得到過渡矩陣T，其中xi為目標基B中的坐標向量，[bi]為對應的基B下的向量坐標。

需要注意的是，過渡矩陣在從基A到基B的轉換下通常是可逆的。如果兩個基是正交歸一的，則過渡矩陣T是一個正交矩陣，其逆矩陣等于它的轉置。