異面直線所成角的求法

發(fā)布時間：2025-11-26 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

一、如何求異面直線所成的角（1）直接平移法： 通常的思路是：在兩條異面直線其中一條上面選一個端點(diǎn)，引另一條的平行線。

（2）中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了線段的中點(diǎn)時）（3）補(bǔ)形平移法：“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。

二、求二面角，大致有兩種基本方法：傳統(tǒng)立體幾何的綜合推理法：

①定義法；

②垂面法；

③三垂線定理法；

④射影面積法．(2)空間向量的坐標(biāo)法：建系并確定點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，分別求出兩個平面的法向量，通過求兩個法向量的夾角得出二面角的大?。?、幾何法和向量法求所成角幾何法1.平移法。將兩條直線或其中一條平移（找出平行線）至它們相交，把異面轉(zhuǎn)化為共面，用余弦定理或正弦定理來求（一般是余弦定理）。一般采用平行四邊形或三角形中位線來構(gòu)造平行線。

2.三余弦定理法。運(yùn)用三余弦定理關(guān)鍵是要找出一條直線a所在的平面α和另一條直線b在該平面α內(nèi)的射影，求出b與α所成角以及a與b的射影b‘所成角，進(jìn)而求a與b所成角。

3.***錐法。***錐（四面體）中兩條相對的棱互為異面直線，設(shè)有四面體ABCD，其中AD與BC互為異面直線，那么它們所成角θ滿足以下關(guān)系：運(yùn)用該公式也可以求異面直線所成角。向量法1.向量幾何法。運(yùn)用向量的加減法規(guī)則，把要求的異面直線用向量表示，并運(yùn)用向量的運(yùn)算法則（例如分配律、共線向量）來求出cosθ2.向量代數(shù)法。當(dāng)容易找到三條兩兩垂直的直線時，可以以它們的交點(diǎn)為坐標(biāo)軸原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方法計(jì)算。

四、異面直線所成角：，（其中 為異面直線a，b所成角， 分別表示異面直線a，b的方向向量）。異面直線所成角的范圍是θ∈（0°,90°]五、直線AB與平面所成角：（ 為平面α的法向量）；二面角 的平面角：或 （ ， 為平面α，β的法向量）。

六、用向量求異面直線所成角注意：

①求異面直線所成的角常用平移法或向量法，特別是向量法，由于降低了空間想象的要求，所以需引起我們的重視，用向量法時，需注意兩異面直線夾角的范圍是②兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．七、求直線與平面所成的角既可選擇傳統(tǒng)立體幾何的綜合推理法，也可選擇空間向量的向量法：

①求直線和平面所成角的步驟：作出斜線與其射影所成的角；證明所作的角就是要求的角；常在直角三角形（垂線、斜線、射影所組成的直角三角形）中解出所求角的大小：②在用向量法求直線OP與α所成的角時一般有兩種途徑：

一是直接求 其中OP′，為斜線OP在平面α內(nèi)的射影；二是通過求 進(jìn)而轉(zhuǎn)化求解，其中n為平面α的法向量。

八、用向量求二面角注意：

①當(dāng)法向量 的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角θ的大小等于法向量 的夾角 的大小；

②當(dāng)法向量 的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角θ的大小等于法向量 的夾角的補(bǔ)角 的大小．