高中奧數(shù)題,有點難度

發(fā)布時間：2025-11-28 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

我的方法有些麻煩，應該還有更好的方法，暫且為lz寫上

-------------------------------

設這9個數(shù)為a1,a2,...,a9。現(xiàn)在反設這9個數(shù)中任何5個之和都不是5的倍數(shù)

那么他們被5除的余數(shù)不可能遍歷0,1,2,3,4(否則加起來就能被5整除了)。換句話說這9個數(shù)被5除的余數(shù)最多只能有4種取值。根據(jù)抽屜原理，9個數(shù)中必然存在三個數(shù)被5除余數(shù)相同。不妨設是a7,a8,a9。他們被5除余r

現(xiàn)考察新數(shù)組bi=ai-r(i=1,2,...,9)

則顯然b7,b8,b9都被5整除，且對b1,b2,...,b9這9個數(shù)而言，仍滿足：任何5個之和都不是5的倍數(shù)。(否則對應的ai之和就是5的倍數(shù)了)

現(xiàn)在b1,b2,...,b6中最多只有1個5的倍數(shù)，所以不妨設b1,b2,...,b5都不被5整除。根據(jù)抽屜原理，其中必有2個數(shù)被5除余數(shù)相同。不妨設是b1,b2。被5除余數(shù)為k

若k=1,則b3,b4,b5被5除都不能余3也不能余4，所以只能余1或2了。易見全1，1個12個2，2個11個2，全2這4種情況中的任何一種的都導致矛盾！

同理可證若k=2,3,4，也將導致矛盾！

所以反設不成立，命題得證

----------------------------

to隨云公子：我不生氣，但是覺得可笑，你連我的證明方法都沒看明白就妄加品論。我把這9個數(shù)每個數(shù)都減去了r，又不只是那3個數(shù)減去r。所以a1+a2+a3+a4+a5被5整除與否與b1+b2+b3+b4+b5被5整除與否是等價的。懂么？

lz說得沒錯，要證明1000的情況就只要證明2,5的情況就行了。推廣到任意n也是沒問題的，單樽在他1983年的一篇論文《初等數(shù)論中的一個猜測》中已經(jīng)證明了這件事情，lz可以去搜搜這篇論文來看。