分形理論簡述

發(fā)布時間：2025-12-06 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

分形幾何（FractalGeometry）的概念是由曼德布羅特（B.B.Mandelbrot.1975）在1975年首先提出的.幾十年來，它已經(jīng)發(fā)展成為一門新型的數(shù)學分支.這是一個研究和處理自然與工程中不規(guī)則圖形的強有力的理論工具，它的應用幾乎涉及自然科學的各個領域，甚至于社會科學，并且實際上正起著把現(xiàn)代科學各個領域連接起來的作用，分形是從新的角度解釋了事物發(fā)展的本質(zhì).

分形（fractal）一詞最早由B.B.Mandelbrot于1975年從拉丁文fractus創(chuàng)造出來，《自然界中的分形幾何》（Mandelbrot，1982）為其經(jīng)典之作.最先它所描述的是具有嚴格自相似結(jié)構(gòu)的幾何形體，物體的形狀與標度無關，子體的數(shù)目N（r）與線性尺度（標度r）之間存在冪函數(shù)關系，即N（r）∝1/rD.分形的核心是標度不變性（或自相似性），即在任何標度下物體的性質(zhì)（如形狀，結(jié)構(gòu)等）不變.數(shù)學上的分形實際是一種具有無窮嵌套結(jié)構(gòu)的極限圖形，分形的突出特點就是不存在特征尺度，描述分形的特征量是分形維數(shù)D.不過現(xiàn)實的分形只是在一定的標度范圍內(nèi)呈現(xiàn)出自相似或自仿射的特性，這一標度范圍也就稱為（現(xiàn)實）分形的無標度區(qū)，在無標度區(qū)內(nèi)，冪函數(shù)關系始終成立.

分形理論認為，分形內(nèi)部任何一個相對獨立的部分，在一定程度上都是整體的再現(xiàn)和相對縮影（分形元），人們可以通過認識部分來認識整體.但是分形元只是構(gòu)成整體的單位，與整體相似，并不簡單地等同于整體，整體的復雜性遠遠大于分形元.更為重要的是，分形理論指出了分形元構(gòu)成整體所遵循的原理和規(guī)律，是對系統(tǒng)論的一個重要的貢獻.

從分析事物的角度來看，分形論和系統(tǒng)論體現(xiàn)了從兩個極端出發(fā)達到對事物全面認識的思路.系統(tǒng)論從整體出發(fā)來確立各部分的系統(tǒng)性質(zhì)，從宏觀到微觀考察整體與部分的相關性；而分形論則是從部分出發(fā)確立整體性質(zhì)，沿著從微觀到宏觀的方向展開.系統(tǒng)論強調(diào)部分對整體的依賴性，而分形論則強調(diào)整體對部分的依賴性，兩者的互補，揭示了系統(tǒng)多層次面、多視角、多方位的聯(lián)系方式，豐富和深化了局部與整體之間的辯證關系.

分形論的提出，對科學認識論與方**具有廣泛而深遠的意義.第一，它揭示了整體與部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到了從部分過渡到整體的媒介與橋梁，說明了部分與整體之間的信息“同構(gòu)”.第二，分形與混沌和現(xiàn)代非線性科學的普遍聯(lián)系與交叉滲透，打破了學科間的條塊分割局面，使各個領域的科學家團結(jié)在一起.第三，為描述非線性復雜系統(tǒng)提供了簡潔有力的幾何語言，使人們的系統(tǒng)思維方法由線性進展到非線性，并得以從局部中認識整體，從有限中認識無限，從非規(guī)則中認識規(guī)則，從混沌中認識有序.

分形理論與耗散結(jié)構(gòu)理論、混沌理論是相互補充和緊密聯(lián)系的，都是在非線性科學的研究中所取得的重要成果.耗散結(jié)構(gòu)理論著眼于從熱力學角度研究在開放系統(tǒng)和遠離平衡條件下形成的自組織，為熱力學第二定律的“退化論”和達爾文的“進化論”開辟了一條聯(lián)系通道，把自然科學和社會科學置于統(tǒng)一的世界觀和認識論中.混沌理論側(cè)重于從動力學觀點研究不可積系統(tǒng)軌道的不穩(wěn)定性，有助于消除對于自然界的確定論和隨機論兩套對立描述體系之間的鴻溝，深化對于偶然性和必然性這些范疇的認識.分形理論則從幾何角度，研究不可積系統(tǒng)幾何圖形的自相似性質(zhì)，可能成為定量描述耗散結(jié)構(gòu)和混沌吸引子這些復雜而無規(guī)則現(xiàn)象的有力工具，進一步推動非線性科學的發(fā)展.

分形理論是一門新興的橫斷學科，它給自然科學、社會科學、工程技術、文學藝術等極廣泛的學科領域提供了一般的科學方法和思考方式.就目前所知，它有很高程度的應用普遍性.這是因為，具有標度不變性的分形結(jié)構(gòu)是現(xiàn)實世界普遍存在的一大類結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)的含義十分豐富，它不僅指研究對象的空間幾何形態(tài)，而是一般地指其拓撲維（幾何維數(shù)）小于其測量維數(shù)的點集，如事件點的分布，能量點的分布，時間點的分布，過程點的分布，甚至是意識點、思維點的分布.

分形思想的基本點可以簡單表述如下：分形研究的對象是具有自相似性的無序系統(tǒng)，其維數(shù)的變化是連續(xù)的.從分形研究的進展看，近年來，又提出若干新的概念，其中包括自仿射分形、自反演分形、遞歸分形、多重分形、胖分形等等.有些分形常不具有嚴格的自相似性，正如定義所表達的，局部以某種方式與整體相似.

分形理論的自相似性概念，最初是指形態(tài)或結(jié)構(gòu)的相似性，即在形態(tài)或結(jié)構(gòu)上具有相似性的幾何對象稱為分形，研究這種分形特性的幾何稱為分形幾何學.隨著研究工作的深入發(fā)展和領域的拓展，又由于一些新學科，如系統(tǒng)論、信息論、控制論、耗散結(jié)構(gòu)理論和協(xié)同論等相繼涌現(xiàn)的影響，自相似性概念得到充實與擴展，把信息、功能和時間上的自相似性也包含在自相似性概念之中.于是，把形態(tài)（結(jié)構(gòu)）、或信息、或功能、或時間上具有自相似性的客體稱為廣義分形.廣義分形及其生成元可以是幾何實體，也可以是由信息或功能支撐的數(shù)理模型，分形體系可以在形態(tài)（結(jié)構(gòu)）、信息和功能各個方面同時具有自相似性，也允許只在某一方面具有自相似性；分形體系中的自相似性可以是完全相似，這種情況是不多見的，也可以是統(tǒng)計意義上的相似，這種情況占大多數(shù)，相似性具有層次或級別上的差別.級別最低的為生成元，級別最高的為分形體系的整體.級別愈接近，相似程度越好，級別相差愈大，相似程度越差，當超過一定范圍時，則相似性就不存在了.

分形具有以下幾個基本性質(zhì)：

（1）自相似性是指事物的局部（或部分）與整體在形態(tài)、結(jié)構(gòu)、信息、功能和時間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性.

（2）適當放大或縮小分形對象的幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)并不改變，這種性質(zhì)稱為標度不變性.

（3）自然現(xiàn)象僅在一定的尺度范圍內(nèi)，一定的層次中才表現(xiàn)出統(tǒng)計自相似性，在這樣的尺度之外，不再具有分形特征.換言之，在不同尺度范圍或不同層次上具有不同的分形特征.

（4）在歐氏幾何學中，維數(shù)只能是整數(shù)，但是在分形幾何學中維數(shù)可以是整數(shù)或分數(shù).

（5）自然界中分形是具有冪函數(shù)分布的隨機現(xiàn)象，因而必須用統(tǒng)計的方法進行分析和處理.

目前分形的分類有以下幾種：①確定性分形與隨機分形；②比例分形與非比例分形；③均勻分形與非均勻分形；④理論分形與自然分形；⑤空間分形與分形事件（時間分形）.

分形研究應注意以下幾個問題：

（1）統(tǒng)計性（隨機性）.研究統(tǒng)計意義上的分形特征，由統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析中找出穩(wěn)態(tài)規(guī)律，才能最客觀地描述自然紋理與粗糙度.從形成過程來看，分形是一個無窮隨機過程的體現(xiàn).如大不列顛海岸線的復雜度是由長期海浪沖擊、侵蝕及風化形成的，其他許多動力過程、凝聚過程也都是無窮隨機的，不可能由某個特征量來形成.因此探討分形與隨機序列、信息熵之間的內(nèi)在聯(lián)系是非常必要的.

（2）全局性.分形是整體與局部比較而存在的，它包括多層嵌套及無窮的精細結(jié)構(gòu).研究一個平面（二維）或立體（三維）的粗糙度，要考慮全局范圍各個方向的平穩(wěn)性，即區(qū)別各向同性或各向異性分布規(guī)律.

（3）多標度性.一個物體的分形特性通常是在某些尺度下體現(xiàn)出來，在另一些尺度下則不是分形特性.理想的無標度區(qū)幾乎不存在，只有從多標度中研究分形特性才較實際.

模型的建立其實是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型單元，對預測單元進行分形處理和預測.

分形的正問題是給出規(guī)律，通過迭代和遞推過程產(chǎn)生分形，產(chǎn)生的幾何對象顯然具有某種相似性.反問題叫做分形重構(gòu).廣義而言，它指任何一個幾何上認為是分形的圖形，能否找到產(chǎn)生它的規(guī)律，以某種方式來生成它.當我們研究非線性動力學時，混沌動力學會產(chǎn)生分形，而分形重構(gòu)則是動力學系統(tǒng)研究的逆問題.由于存在“一因多果”、“多因一果”，由分維重構(gòu)分形還需加入另外參數(shù).

臨界現(xiàn)象與分形有關.重整化群是研究臨界現(xiàn)象的一種方法.該方法首先對小尺寸模型進行計算，然后被重整化至大的或更大的尺度.如果我們有網(wǎng)格狀的一組元素，每個元素具有一定的滲透概率，重整化群方法的一個應用就是計算滲透的開始問題.當元素滲透率達到某一臨界值時，這一組元素的滲透流動就會突然地發(fā)生.一旦流動開始后，相聯(lián)結(jié)元素之間便具有分形結(jié)構(gòu).

自組織臨界現(xiàn)象的概念可以用來分析地震活動性.按照這個概念，一個自然界的系統(tǒng)處在穩(wěn)定態(tài)的邊緣，一旦偏離這個狀態(tài)，系統(tǒng)會自然地演化回到邊緣穩(wěn)定的狀態(tài).臨界狀態(tài)不存在天然的長度標度，因而是分形的.簡單的細胞自動機模型可以說明這種自組織臨界現(xiàn)象.

分形理論作為非線性科學的一個分支，是研究自然界空間結(jié)構(gòu)復雜性的一門學科，可從復雜的看似無序的圖案中，提取出確定性、規(guī)律性的參量.既可以反演分形結(jié)構(gòu)的形成機制，又可以從看似隨機的演化過程（時間序列）中推測體系演化的結(jié)果，近年來倍受地球科學家的注意.在地質(zhì)統(tǒng)計學，孔隙介質(zhì)、儲層非均勻性及石油勘探開發(fā)，固相表面或兩相界面，巖石破裂、斷層及地震和地形、地貌學等地球科學各個領域得到了廣泛的應用.

自20世紀80年代初以來，一些專家學者注意到了地質(zhì)學中的自相似現(xiàn)象，并試圖將分形理論運用于地學之中.以地質(zhì)學中普遍存在的自相似性現(xiàn)象、地質(zhì)體高度不規(guī)則性和分割性與層次性、地質(zhì)學中重演現(xiàn)象的普遍性、分形幾何學在其他學科中應用實例與地質(zhì)學中的研究對象的相似性、地質(zhì)學中存在一些冪函數(shù)關系等為內(nèi)在基礎，以地質(zhì)學定量化的需要、非線性地質(zhì)學的發(fā)展及線性地質(zhì)學難以解決諸多難點、分形理論及現(xiàn)代測試和電算技術的發(fā)展為外在基礎，使分形理論與地質(zhì)學相結(jié)合成為可能，它的進一步發(fā)展將充實數(shù)學地質(zhì)的研究內(nèi)容并推動數(shù)學地質(zhì)邁上一個新臺階.目前，分形理論應用于地球科學主要包括以下兩個方面的研究：

（1）對“地質(zhì)存在”——地質(zhì)體或某些地質(zhì)現(xiàn)象的分形結(jié)構(gòu)分析，求取相應分形維數(shù)，尋找分維值與有關物理參量之間的聯(lián)系，探討分形結(jié)構(gòu)形成的機理.這方面的研究相對較多，如人們已對斷裂、斷層和褶皺等地質(zhì)構(gòu)造（現(xiàn)象）進行了分形分析，探討分維值與巖石力學性質(zhì)等之間的關系；從大到海底（或**）地貌，小到納米級的微晶表面證實了各類粗糙表面具有分形特征；計算了河流網(wǎng)絡，斷裂網(wǎng)絡，地質(zhì)多孔介質(zhì)和粘性指進的分維值以及脈厚與品位或品位與儲量等之間的分形關系.

（2）對“地質(zhì)演化”——地質(zhì)作用過程進行分形分析，求取分形維數(shù)并考察其變化趨勢，從而預測演化的結(jié)果.例如，科學家們通過對強震前小震分布的分形研究表明，強震前普遍出現(xiàn)降維現(xiàn)象，從而為地震預報提供有力理論工具.當今的研究，不僅僅局限于分維數(shù)的計算，分形模型的建立；而更著重于解釋地質(zhì)學中引起自相似性特征的原因或成因，自相似體系的生成過程及模擬，以及用分形理論解決地質(zhì)學中的疑難問題與實踐問題，如地震和災害地質(zhì)的預報、石油預測、巖體力學類型劃分、成礦規(guī)律與成礦預測等.地球化學數(shù)據(jù)在很大程度上反映了地質(zhì)現(xiàn)象的結(jié)構(gòu)特征.分維是描述分形結(jié)構(gòu)的定量參數(shù)，它有可能揭示出地球化學元素空間分布的內(nèi)在規(guī)律.

分維與地質(zhì)異常有一定的關系.我們可以對不同地段以一定的地質(zhì)內(nèi)容為參量對比它們分維大小的差異，以此求得結(jié)構(gòu)地段的位置及范圍，從而確定地質(zhì)異常；也可以對不同時期可恢復的歷史地質(zhì)結(jié)構(gòu)格局分別求分維，還可以確定分維背景值.分形是自然界中普遍存在的一種規(guī)律性.

總之分形理論已經(jīng)滲透到地學領域的各個角落，應用范圍涉及地球物理學、地球化學、石油地質(zhì)學、構(gòu)造地質(zhì)學及災害地質(zhì)學等.