變限積分求導(dǎo)公式總結(jié)

發(fā)布時(shí)間：2025-10-09 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉(zhuǎn)載和整理

變上限積分求導(dǎo)公式：即∫f(t)dt（積分限a到x），根據(jù)映射的觀點(diǎn)，每給一個(gè)x就積分出一個(gè)實(shí)數(shù)，因此這是關(guān)于x的一元函數(shù)，記為g(x)=∫f(t)dt（積分限a到x），注意積分變量用什么符號都不影響積分值，改用t是為了不與上限x混淆。

現(xiàn)在用導(dǎo)數(shù)定義求g‘(x)，根據(jù)定義，g’(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趨于0，積分限前者為a到x+h，后者為a到x）=lim∫f(t)dt/h（積分限x到x+h，根據(jù)的是積分的區(qū)間可加性），根據(jù)積分中值定理，存在ξ屬于(x，x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因?yàn)閔趨于0時(shí)ξ是趨于x的，故極限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此證明了g(x)=f(x)。