二階非齊次線性微分方程的通解結構

發(fā)布時間：2025-10-14 | 來源：互聯(lián)網(wǎng)轉載和整理

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的表達式為y''+py'+qy=f(x)，其特解y*設法分為：

1. 如果f(x)=P（x），Pn（x）為n階多項式；

2.如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）為n階多項式。

二階常系數(shù)齊次線性微分方程

標準形式

y″+py′+qy=0

特征方程

r^2+pr+q=0

通解

1.兩個不相等的實根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2.兩根相等的實根：y=(C1+C2x)e^(r1x)

3.一對共軛復根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

特解y*設法

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）為n階多項式。

若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因為Qm(x)與Pn（x）為同次的多項式，所以Qm(x)設法要根據(jù)Pn（x）的情況而定。

比如如果Pn（x）=a（a為常數(shù)），則設Qm(x)=A（A為另一個未知常數(shù)）；如果Pn（x）=x，則設Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）=x^2，則設Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的單根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*Qm(x)。

若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*Qm(x)。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）為n階多項式。

若α不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)設法要根據(jù)Pn（x）的情況而定。

若α是特征方程的單根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*Qm(x)*e^αx。

若α是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*Qm(x)*e^αx。

3、如果f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）為l階多項式，Pn（x）為n階多項式。

若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=0，m=max{l,n}，Rm1(x)與Rm2(x)設法要根據(jù)Pl（x）或Pn（x）的情況而定（同Qm(x)設法要根據(jù)Pn（x）的情況而定的原理一樣）。

即y*=[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx

若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=1，即y*=x*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx。